제곱 함수의 연속

[출제의도] 함수의 연속의 성질을 이용하여 주어진 함수가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 상수의 값을 구할 수 있는가? 함수 $f ( x )$가 $x = a$를 제외한 실수 전체의 집합에서 연속이므로 함수 $\left\{ f ( x ) \right\} ^{2}$이 $x = a$에서 연속이면 함수 $\left\{ f ( x ) \right\} ^{2}$은 실수 전체의 집합에서 연속이다. 함수 $\left\{ f ( x ) \right\} ^{2}$이 $x = a$에서 연속이려면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a +} {\left\{ f ( x ) \right\} ^{2}} = \lim\limits _{x \rightarrow a -} {\left\{ f ( x ) \right\} ^{2}} = \left\{ f ( a ) \right\} ^{2}$ 이어야 한다. 이때, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a +} {\left\{ f ( x ) \right\} ^{2}} = \lim\limits _{x \rightarrow a +} {( 2 x - a ) ^{2} = a ^{2}}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a -} {\left\{ f ( x ) \right\} ^{2}} = \lim\limits _{x \rightarrow a -} {( - 2 x + 6 ) ^{2}} = ( - 2 a + 6 ) ^{2}$ $\left\{ f ( a ) \right\} ^{2} = ( 2 a - a ) ^{2} = a ^{2}$이므로 $a ^{2} = ( - 2 a + 6 ) ^{2}$에서 $3 ( a - 2 ) ( a - 6 ) = 0$ $a = 2$ 또는 $a = 6$ 따라서 모든 상수 $a$의 값의 합은 $2 + 6 = 8$