미적분Ⅰ함수의 연속수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

제곱 함수의 연속

문제

함수 f(x)={x−12(x<0)−x2+3(x≥0)\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} x - \frac{1}{2} & & \left( x < 0 \right) \\ - x ^{2} + 3 & & \left( x \geq 0 \right) \end{cases}} 에 대하여 함수 (f(x)+a)2( f ( x ) + a ) ^{2}이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 aa의 값은? [4점] ①−94\displaystyle - \frac{9}{4}②−74\displaystyle - \frac{7}{4}③−54\displaystyle - \frac{5}{4}④−34\displaystyle - \frac{3}{4}⑤−14\displaystyle - \frac{1}{4}

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③

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해설

함수 (f(x)+a)2\left( f ( x ) + a \right) ^{2}이 실수 전체의 집합에서 연속이려면 x=0x = 0에서 연속이어야 하므로 lim⁡x→0+(f(x)+a)2=lim⁡x→0−(f(x)+a)2=(f(0)+a)2\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \left( f ( x ) + a \right) ^{2} = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \left( f ( x ) + a \right) ^{2} = \left( f ( 0 ) + a \right) ^{2} 이때 (f(0)+a)2=(3+a)2\left( f ( 0 ) + a \right) ^{2} = \left( 3 + a \right) ^{2}이고 lim⁡x→0+(f(x)+a)2\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \left( f ( x ) + a \right) ^{2}=lim⁡x→0+(−x2+3+a)2\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \left( - x ^{2} + 3 + a \right) ^{2}=(3+a)2= \left( 3 + a \right) ^{2} lim⁡x→0−(f(x)+a)2\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \left( f ( x ) + a \right) ^{2}=lim⁡x→0−(x−12+a)2\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \left( x - \frac{1}{2} + a \right) ^{2}=(−12+a)2\displaystyle = \left( - \frac{1}{2} + a \right) ^{2} 이므로 (3+a)2=(−12+a)2\displaystyle \left( 3 + a \right) ^{2} = \left( - \frac{1}{2} + a \right) ^{2} 9+6a+a2=14−a+a2\displaystyle 9 + 6 a + a ^{2} = \frac{1}{4} - a + a ^{2}, 7a=14−9\displaystyle 7 a = \frac{1}{4} - 9 ∴\therefore a=−54\displaystyle a = - \frac{5}{4}

태그

#함수의 연속#구간별로 정의된 함수

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