공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

자연수 항들의 합

문제

다음과 같이 분모는 11부터 시작하여 9999까지 11씩 증가하고, 분자는 9999부터 시작하여 11까지 11씩 감소하는 분수로 이루어진 수열이 있다. 991,982,973,⋯ ,199\displaystyle \frac{99}{1} , \frac{98}{2} , \frac{97}{3} , \cdots , \frac{1}{99} 이 수열에서 자연수인 항들의 총합을 구하시오. [4점]

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208

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해설

[출제의도] 약수와 배수를 이용하여 여러 가지 수열의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 주어진 수열의 일반항(nn번째)을 ana _{n}이라 하면 an=100−nn\displaystyle a _{n} = \frac{100 - n}{n}(단, 1≤n≤991 \leq n \leq 99)이다. an=100−nn\displaystyle a _{n} = \frac{100 - n}{n}=100n−1\displaystyle = \frac{100}{n} - 1이므로 nn이 100=2252100 = 2 ^{2} 5 ^{2}의 약수일 때 100n\displaystyle \frac{100}{n}은 자연수가 된다. 따라서 자연수 ana _{n}의 총합은 다음과 같다. (1+2+22)(1+5+52)−9( 1 + 2 + 2 ^{2} ) ( 1 + 5 + 5 ^{2} ) - 9=208= 208

태그

#약수#수열

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