공통수학1이차방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

자연수 두 근 조건

문제

xx에 대한 이차방정식 x2−(m−5)x+m+2=0x ^{2} - ( m - 5 ) x + m + 2 = 0의 두 근 α\alpha, β\beta가 모두 자연수일 때, 모든 정수 mm의 값의 합을 구하시오. (단, α<β\alpha < \beta) [3점]

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해설

[출제의도] 이차방정식에서 근과 계수의 관계 이해하기 α+β=m−5\alpha + \beta = m - 5 ⋯⋯㉠\cdots \cdots \text{㉠} αβ=m+2\alpha \beta = m + 2 ⋯⋯㉡\cdots \cdots \text{㉡} ㉠\text{㉠}, ㉡\text{㉡}에서 αβ=α+β+7\alpha \beta = \alpha + \beta + 7 (α−1)(β−1)=8( \alpha - 1 ) ( \beta - 1 ) = 8 α\alpha, β\beta는 자연수이므로 α=3\alpha = 3, β=5\beta = 5 또는 α=2\alpha = 2, β=9\beta = 9 (ⅰ) α=3\alpha = 3, β=5\beta = 5일 때, m=13m = 13 (ⅱ) α=2\alpha = 2, β=9\beta = 9일 때, m=16m = 16 따라서 모든 정수 mm의 값의 합은 2929

태그

#근과 계수의 관계#정수 조건

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