공통수학1여러 가지 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

자연수 등식 해 증명

문제

다음은 등식 $n k ^{2} - n ^{2} k + ( n ^{3} - 2 n - 2 ) = 0$ 을 만족시키는 두 자연수 $n$ , $k$ 의 순서쌍 $( n , k )$ 는 오직 한 개임을 증명하는 과정이다.

<증명> 등식 $n k ^{2} - n ^{2} k + ( n ^{3} - 2 n - 2 ) = 0$ … ㉠㉠을 변형하면 $n ($ (가)

$) = 2$ $n$ 과 $k$ 는 자연수이므로 $n$ 은 $2$ 의 약수이다. 따라서, $n = 1$ 또는 $n = 2$ 이다. (1) $n = 1$ 인 경우 ㉠은 $k ^{2} - k - 3 = 0$ 이 되어 이 등식을 만족시키는 $k$ 는 (나)

이므로 자연수가 아니다. (2) $n = 2$ 인 경우 ㉠은 (다)

$= 0$ 이 되어 이 등식을 만족시키는 자연수 $k$ 의 값은 한 개 존재한다. 따라서, 주어진 등식을 만족시키는 순서쌍 $( n , k )$ 는 오직 한 개이다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 들어갈 내용이 바르게 배열된 것은? [4점]

	(가)	(나)	(다)
①	$k ^{2} - nk + n ^{2} - 2$	무리수	$k ^{2} - 2 k + 1$
②	$k ^{2} - nk + n ^{2} - 2$	무리수	$k ^{2} - 4 k + 4$
③	$k ^{2} - nk + n ^{2} - 2$	허수	$k ^{2} - 2 k + 1$
④	$k ^{2} + n k - n ^{2} - 2$	허수	$k ^{2} - 4 k + 4$
⑤	$k ^{2} + n k - n ^{2} - 2$	허수	$k ^{2} - 2 k + 1$

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①

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해설

[출제의도] 자연수의 성질과 식의 성질을 이용하여 방정식에 관련된 명제의 증명과정을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다. $n k ^{2} - n ^{2} k + ( n ^{3} - 2 n - 2 ) = 0$ 에서 $n ( k ^{2} - nk + n ^{2} - 2 ) = 2$ 이므로 $n$ 은 $2$ 의 약수이다. 따라서 $n = 1$ 또는 $n = 2$ 이다. (1) $n = 1$ 일 때 $k ^{2} - k - 3 = 0$ 에서 $\displaystyle k = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$ 이다. 그런데 주어진 등식을 만족시키는 $k$ 는 무리수이므로 자연수가 아니다. (2) $n = 2$ 일 때 $k ^{2} - 2 k + 1 = 0$ 에서 $k = 1$ 이다. 주어진 등식을 만족시키는 자연수 $k$ 는 한 개이고 순서쌍 $( n , k )$ 는 오직 한 개이다. ∴ (가) : $k ^{2} - nk + n ^{2} - 2$ , (나) : 무리수, (다) : $k ^{2} - 2 k + 1$

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