작은 원소 평균 귀납법

$n \geq 2$인 모든 자연수 $n$에 대하여 집합 $A _{n}$을 $A _{n} = \left\{ 1 , 2 , \cdots , n \right\}$이라 하자. 집합 $A _{n}$의 부분집합 중 원소가 $2$개인 각 부분집합에서 작은 원소를 뽑아 그 원소들의 평균을 $a _{n}$이라 하자. 다음은 $\displaystyle a _{n} = \frac{n + 1}{3}$임을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

<증명> (1) $n = 2$일 때, $A _{2} = \left\{ 1 , 2 \right\}$의 원소가 $2$개인 부분집합은 자신뿐이므로 $\displaystyle a _{2} = 1 = \frac{2 + 1}{3}$이다. (2) $n = k ( k \geq 2 )$일 때 성립한다고 가정하면 $\displaystyle a _{k} = \frac{k + 1}{3}$이다. $A _{k+1} = \left\{ 1 , 2 , \cdots , k , k + 1 \right\}$의 부분집합 중 원소가 $2$개인 모든 부분집합은, $A _{k}$의 부분집합 중 원소가 $2$개인 모든 부분집합에 $k$개의 집합 $\left\{ 1 , k + 1 \right\}$, $\left\{ 2 , k + 1 \right\}$, $\cdots$, $\left\{ k , k + 1 \right\}$ 을 추가한 것이다. $A _{k}$의 부분집합 중 원소가 $2$개인 부분집합의 개수는 (가) 이므로 $\displaystyle a _{k + 1} = \frac{\square {( \text{나} )} + ( 1 + 2 + \cdots + k ) _{}}{{}_{k + 1} \mathrm{C} _{2}}$ $\displaystyle = \frac{k + 2}{3} = \frac{( k + 1 ) + 1}{3}$ 이다. 그러므로 (1), (2)에 의하여 $n \geq 2$인 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle a _{n} = \frac{n + 1}{3}$이다.

위 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은? [4점] (가) (나) ①${}_{k} \mathrm{C} _{2}$ $\displaystyle {}_{k} \mathrm{C} _{2} \cdot \frac{k}{3}$②${}_{k} \mathrm{C} _{2}$ $\displaystyle {}_{k} \mathrm{C} _{2} \cdot \frac{k + 1}{3}$③${}_{k+1} \mathrm{C} _{2}$ $\displaystyle {}_{k+1} \mathrm{C} _{2} \cdot \frac{k}{3}$④${}_{k+1} \mathrm{C} _{2}$ $\displaystyle {}_{k+1} \mathrm{C} _{2} \cdot \frac{k + 1}{3}$⑤${}_{k+2} \mathrm{C} _{2}$ $\displaystyle {}_{k} \mathrm{C} _{2} \cdot \frac{k}{3}$