대수등차수열과 등비수열수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

재귀적으로 색이 바뀌는 도형의 넓이

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 1인 흰색 정사각형 R0R _{0}을 사등분하여 오른쪽 위의 한 정사각형을 검은색으로 칠한 전체 도형을 R1R _{1}이라 하고, R1R _{1}의 검은 부분의 넓이를 S1S _{1}이라 하자. R1R _{1}의 각 정사각형을 사등분하여 얻은 도형이 이면 으로, 이면 으로 모두 바꾼 후 얻은 전체 도형을 R2R _{2}라 하고, R2R _{2}의 검은 부분의 넓이를 S2S _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 전체 도형 RnR _{n}의 검은 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, S10S _{10}의 값은? [4점]

①257512\displaystyle \frac{257}{512}②5111024\displaystyle \frac{511}{1024}③5131024\displaystyle \frac{513}{1024}④10232048\displaystyle \frac{1023}{2048}⑤10252048\displaystyle \frac{1025}{2048}

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④

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해설

도형 RnR _{n}에서 검은 부분, 흰 부분의 넓이를 각각 SnS _{n}, TnT _{n}이라 하면 Sn+Tn=1S _{n} + T _{n} = 1, Sn+1=34Sn+14Tn\displaystyle S _{n + 1} = \frac{3}{4} S _{n} + \frac{1}{4} T _{n}, Tn+1=14Sn+34Tn\displaystyle T _{n + 1} = \frac{1}{4} S _{n} + \frac{3}{4} T _{n} 이므로 S1−T1=−12\displaystyle S _{1} - T _{1} = - \frac{1}{2}, Sn+1−Tn+1=12(Sn−Tn)\displaystyle S _{n + 1} - T _{n + 1} = \frac{1}{2} ( S _{n} - T _{n} ) 따라서 Sn+Tn=1S _{n} + T _{n} = 1, Sn−Tn=−(12)n\displaystyle S _{n} - T _{n} = - \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} 이므로 2Sn=1−(12)n\displaystyle 2 S _{n} = 1 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{n}, ∴\therefore S10=12(1−1210)=10232048\displaystyle S _{10} = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2 ^{10}} \right) = \frac{1023}{2048}

태그

#수열의 귀납적 정의#등비수열#도형의 넓이

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