대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

자취 원 넓이의 합

문제

[13 ~ 14] 자연수 n{{n}}에 대하여 좌표평면에서 점 A(0,2){{\mathrm{A} \left( 0 , 2 \right)}}를 지나는 직선과 점 B(n,2){{\mathrm{B} \left( \mathit{n} , 2 \right)}}를 지나는 직선이 서로 수직으로 만나는 점을 P\mathrm{P}라 하자. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

점 P\mathrm{P}가 나타내는 도형의 넓이를 ana _{n}이라 할 때, ∑n=18an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{8} a _{n}의 값은? [4점] ①51π51 \pi②53π53 \pi③55π55 \pi④57π57 \pi⑤59π59 \pi

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①

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해설

[출제의도] 원의 성질과 자연수의 제곱의 합을 이용하여 ∑\displaystyle \sum\limits _{} ^{}의 값을 구한다. ∠APB=90∘\angle \mathrm{APB} \mathit{=} 90 ^\circ이므로 점 P\mathrm{P}는 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하는 원 위의 점이다. 이때, 이 원의 지름의 길이는 nn이므로 an=π×(n2)2=n24π\displaystyle a _{n} = \pi \times \left( \frac{n}{2} \right) ^{2} = \frac{n ^{2}}{4} \pi ∑n=18an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{8} a _{n}=∑n=18n24π\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{8} \frac{n ^{2}}{4} \pi=π4∑n=18n2\displaystyle = \frac{\pi}{4} \sum\limits _{n = 1} ^{8} n ^{2}=π4×8×9×176\displaystyle = \frac{\pi}{4} \times \frac{8 \times 9 \times 17}{6}=51π= 51 \pi

태그

#원#자취#자연수 제곱의 합

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