공통수학1이차방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

인수분해와 두 근

문제

다항식 x3+(a+2)x2+(a2−3a+2)x+bx ^{3} + \left( a + 2 \right) x ^{2} + \left( a ^{2} - 3 a + 2 \right) x + b는 (x+1){x2+(a+1)x+b}\left( x + 1 \right) \left\{ x ^{2} + \left( a + 1 \right) x + b \right\}로 인수분해되고, 이차방정식 x2+(a+1)x+b=0x ^{2} + \left( a + 1 \right) x + b = 0의 두 근을 α\alpha, β\beta라 하자. α2+β2=24\alpha ^{2} + \beta ^{2} = 24일 때, a+ba + b의 값을 구하시오. (단, aa, bb는 상수이다.) [4점]

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해설

다항식 x3+(a+2)x2+(a2−3a+2)x+bx ^{3} + \left( a + 2 \right) x ^{2} + \left( a ^{2} - 3 a + 2 \right) x + b가 x+1x + 1을 인수로 가지므로 다항식 x3+(a+2)x2+(a2−3a+2)x+bx ^{3} + \left( a + 2 \right) x ^{2} + \left( a ^{2} - 3 a + 2 \right) x + b를 조립제법을 이용하여 인수분해하면

5tomOt9oCNxeRUa9Se/DxYj1PiG94UkpvXNcZbT9ZbZ2xdVX+X8qqUPRBV7jLAoD5tBgRqZhbSLzIMPtMrhYFkXuapvNvbA=cd5Hv97+0qgqpsGETCNWTw1CcGWsuamwT3aVvc90eW+o+vPbr6ppu/8WsHt4SMYYaJpe9MUi7lYVn62CgiYrDwKzLCgqL6M=2VSZ44AQJA/I7AvyqMKObezQkpL3QFSlE7maynhgNIFFYHOR+ywAQBI4IBZC5Pk7Ii0dQCp7PVuFDWhG3g5ncwJqoQFj5j0=N3W//6VF+GXKppK1RZ39QCSwRGl68Pj3bb0qofMtG4gJ7IBWGH2n3HEhsUz/WG57XLZTTg/oD6R0NjmzbHb/9gl/s4MHPj0=pkkdDi+0lMvO78877kt0AgNyMA3VZyfWTj3ZRzsPqFnl9f/2u/DcVqjsKcwlS93U0UNcUUYqxspSpci1hnf0Xz8S/1052YI=
KsjTPBaX3bherppaRD4PYkDw79iouaRrpfINh1z6j5URjYq9C3McP8jKpu1558dSFE8oMVUoeTv7w9GCOLcLjtNC5Uj6Hq0=MXu4e6hsyDpWjTEGwNXlq8jd+yHO5Cb+MuIyYrEP/2LwR4j+MUrkeOTxQyO0ki+113Iiib8/Xaxziqs6rMedg/xZfv9IlB0=RsAStAbxMM1FK3eRQ8WobQpUXjDNUZXznhqnbP0gz2vI7kYD9Exz89USr92yYvn6rGoL2eN0mTsVvFpZnBMiZV8NcQRcjB0=
bQv8pUQWZLA9MMOjKKSFCm0D1em3P/HUpuiqYz6JpPs3vDq+62IRv5+Orx7r1+iZK8rMJOJyJSgDPY01NZ6Ftrc6soveN14=cCqCY0kxkWuAmN9q384PklVOIP4RG6iXmMTF1rwcw30K9xT1HcJhf/c4eGktsCQNo/ax56iFk3uIHrFOFx0qny1zVwpcus0=weIGSK7DpAJgM5WHzN5ha3b9/aqUfQbW8jfk5eQZ8UWhdocpn3t0UPUSZNs0AcdmN2Q+nriZ9Bcn6Rbok5LJEDzaJ4Ne3Lw=IG3wk7/kWfZD4Od6XVCkusbcSM0YSyncxljxyKrVFy8A6jHp7mhV4KarAJhwG3PpFTnlSMdzfeAYCIztjWSY74ZKn1SFIDs=

x3+(a+2)x2+(a2−3a+2)x+bx ^{3} + \left( a + 2 \right) x ^{2} + \left( a ^{2} - 3 a + 2 \right) x + b =(x+1){x2+(a+1)x+(a2−4a+1)}= \left( x + 1 \right) \left\{ x ^{2} + \left( a + 1 \right) x + \left( a ^{2} - 4 a + 1 \right) \right\} b=a2−4a+1b = a ^{2} - 4 a + 1 이차방정식 x2+(a+1)x+b=0x ^{2} + \left( a + 1 \right) x + b = 0의 두 근은 α\alpha, β\beta이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 α+β=−(a+1)\alpha + \beta = - \left( a + 1 \right), αβ=b=a2−4a+1\alpha \beta = b = a ^{2} - 4 a + 1 α2+β2\alpha ^{2} + \beta ^{2}=(α+β)2−2αβ= \left( \alpha + \beta \right) ^{2} - 2 \alpha \beta ={−(a+1)}2−2(a2−4a+1)= \left\{ - \left( a + 1 \right) \right\} ^{2} - 2 \left( a ^{2} - 4 a + 1 \right) =−a2+10a−1= - a ^{2} + 10 a - 1 α2+β2=24\alpha ^{2} + \beta ^{2} = 24에서 −a2+10a−1=24- a ^{2} + 10 a - 1 = 24이므로 a=5a = 5 b=a2−4a+1b = a ^{2} - 4 a + 1에 a=5a = 5를 대입하면 b=6b = 6 따라서 a+b=11a + b = 11

태그

#인수분해#근과 계수의 관계

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