인수분해로 자연수 결정

[출제의도] 인수분해를 이용하여 자연수의 값을 구한다. $a ^{2} b + 2 ab + a ^{2} + 2 a + b + 1$을 $b$에 대하여 내림차순으로 정리하여 인수분해하면 $( a ^{2} + 2 a + 1 ) b + a ^{2} + 2 a + 1$ $= ( a + 1 ) ^{2} b + ( a + 1 ) ^{2}$ $= ( a + 1 ) ^{2} ( b + 1 )$ 위의 식의 값이 $245 = 7 ^{2} \times 5$이므로 $( a + 1 ) ^{2} ( b + 1 ) = 7 ^{2} \times 5$ $a$, $b$는 자연수이므로 $a + 1 = 7$, $b + 1 = 5$ 따라서 $a = 6$, $b = 4$이므로 $a + b = 10$ [다른풀이] $a ^{2} b + 2 ab + a ^{2} + 2 a + b + 1$을 $a$에 대하여 내림차순으로 정리하여 인수분해하면 $( b + 1 ) a ^{2} + 2 ( b + 1 ) a + ( b + 1 )$ $= ( b + 1 ) ( a ^{2} + 2 a + 1 )$ $= ( a + 1 ) ^{2} ( b + 1 )$ 위의 식의 값이 $245 = 7 ^{2} \times 5$이므로 $( a + 1 ) ^{2} ( b + 1 ) = 7 ^{2} \times 5$ $a$, $b$는 자연수이므로 $a + 1 = 7$, $b + 1 = 5$ 따라서 $a = 6$, $b = 4$이므로 $a + b = 10$