일의 자리 함수

$f \left( k \right) = \left( 3 ^{k} \right.$의 일의 자리의 수$\left. \right)$이므로 $f \left( 1 \right) = f \left( 5 \right) = f \left( 9 \right) = 3$, $f \left( 2 \right) = f \left( 6 \right) = 9$, $f \left( 3 \right) = f \left( 7 \right) = 7$, $f \left( 4 \right) = f \left( 8 \right) = 1$ $X$의 두 부분집합 $P = \left\{ 1 , 3 , 5 , 7 , 9 \right\}$, $Q = \left\{ 2 , 4 , 6 , 8 \right\}$에 대하여 $x \in P$이면 $\left( f \circ f \right) \left( x \right) = 7$이고, $x \in Q$이면 $\left( f \circ f \right) \left( x \right) = 3$ 이므로 $A \subset P$이다. 임의의 $a \in A$에 대하여 $f \left( a \right) \in A$이므로 $f \left( a \right) \in A$에 대하여 $f \left( f \left( a \right) \right) \in A$이다. 즉, $7 \in A$이다. 한편, $9 \in A$이면 $7 < 9$이고 $f \left( 7 \right) > f \left( 9 \right)$이므로 조건 (다)를 만족시키지 않는다. 그러므로 $9 \ni n A$이다. $3 \ni n A$이면 $n \left( A \right) \geq 2$이므로 $1 \in A$ 또는 $5 \in A$이고, 조건 (나)에서 $f \left( 1 \right) = f \left( 5 \right) = 3 \in A$가 되어 모순이다. 그러므로 $3 \in A$이다. 즉, $\left\{ 3 , 7 \right\} \subset A \subset \left\{ 1 , 3 , 5 , 7 \right\}$이다. 그런데 $5 \in A$이면 $3 < 5$이고 $f \left( 3 \right) > f \left( 5 \right)$이므로 조건 (다)를 만족시키지 않는다. 그러므로 $5 \ni n A$이다. 즉, $\left\{ 3 , 7 \right\} \subset A \subset \left\{ 1 , 3 , 7 \right\}$이다. 따라서 가능한 모든 집합 $A$는 $A = \left\{ 3 , 7 \right\}$ 또는 $A = \left\{ 1 , 3 , 7 \right\}$이므로 집합 $A$의 모든 원소의 합의 최댓값은 $1 + 3 + 7 = 11$