일대일대응과 순서쌍

두 곡선 $y = - \log _{2} \left( x + 2 \right) - 2$와 $y = 2 ^{- x - 2} - 2$는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다. 정의역과 공역이 각각 실수 전체의 집합인 함수 $f \left( x \right)$가 일대일대응이므로 상수 $k$의 값은 두 곡선의 교점의 $x$좌표이다. 정 답

$y = 2 ^{- x - 2} - 2$ $y = \mathit{-} \log _{2} \left( x + 2 \right) - 2$

곡선 $y = - \log _{2} \left( x + 2 \right) - 2$와 $x$축의 교점의 $x$좌표가 $\displaystyle - \frac{7}{4}$이므로 $\displaystyle k > - \frac{7}{4}$이다. $k {\geq} - 1$이라 가정하면 $k = - \log _{2} \left( k + 2 \right) - 2$이므로 $k = - \log _{2} \left( k + 2 \right) - 2 \leq - \log _{2} \left\{ \left( - 1 \right) + 2 \right\} - 2 = - 2$ 가 되어 모순이므로 $k < {- 1}$이다. 따라서 $k$의 값의 범위는 $\displaystyle - \frac{7}{4} < k < {- 1}$이다. 두 함수 $y = f \left( x \right)$와 $y = g \left( x \right)$의 그래프는 그림과 같다.

$y = f \left( x \right)$ $y = g \left( x \right)$

(ⅰ) $- 2 \leq {x} < k$일 때, $f \left( x \right) = 2 ^{- x - 2} - 2$, $g \left( x \right) = \log _{2} \left( 2 - x \right) + 2$이고 $f \left( - 2 \right) = - 1$, $g \left( - 2 \right) = 4$이므로 $\left( - 2 , - 1 \right)$, $\left( - 2 , 0 \right)$, $\left( - 2 , 1 \right)$, $\left( - 2 , 2 \right)$, $\left( - 2 , 3 \right)$, $\left( - 2 , 4 \right)$ : $6$개 (ⅱ) $k \leq x < {- k}$일 때, $f \left( x \right) = - \log _{2} \left( x + 2 \right) - 2$, $g \left( x \right) = \log _{2} \left( 2 - x \right) + 2$이고 ① $f \left( - 1 \right) = - 2$, $3 < g \left( - 1 \right) < 4$이므로 $\left( - 1 , - 2 \right)$, $\left( - 1 , - 1 \right)$, $\left( - 1 , 0 \right)$, $\left( - 1 , 1 \right)$, $\left( - 1 , 2 \right)$, $\left( - 1 , 3 \right)$ : $6$개 ② $f \left( 0 \right) = - 3$, $g \left( 0 \right) = 3$이므로 $\left( 0 , - 3 \right)$, $\left( 0 , - 2 \right)$, $\left( 0 , - 1 \right)$, $\left( 0 , 0 \right)$, $\left( 0 , 1 \right)$, $\left( 0 , 2 \right)$, $\left( 0 , 3 \right)$ : $7$개 ③ $- 4 < f \left( 1 \right) < {- 3}$, $g \left( 1 \right) = 2$이므로 $\left( 1 , - 3 \right)$, $\left( 1 , - 2 \right)$, $\left( 1 , - 1 \right)$, $\left( 1 , 0 \right)$, $\left( 1 , 1 \right)$, $\left( 1 , 2 \right)$ : $6$개 (ⅲ) $- k {\leq} x {\leq} 2$일 때, $f \left( x \right) = - \log _{2} \left( x + 2 \right) - 2$, $g \left( x \right) = - 2 ^{x - 2} + 2$이고 $f \left( 2 \right) = - 4$, $g \left( 2 \right) = 1$이므로 $\left( 2 , - 4 \right)$, $\left( 2 , - 3 \right)$, $\left( 2 , - 2 \right)$, $\left( 2 , - 1 \right)$, $\left( 2 , 0 \right)$, $\left( 2 , 1 \right)$ : $6$개 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 $6 + 6 + 7 + 6 + 6 = 31$ 따라서 $f \left( a \right) {\leq} b {\leq} g \left( a \right)$를 만족시키는 정수 $a , b$의 모든 순서쌍 $\left( a , b \right)$의 개수는 $31$