공통수학2함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

일대일대응 조건 함수

문제

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f$ 가 $\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} \frac{2 x + 3}{x - 2 _{{} _{{} _{}}}} ( x > 3 ) _{{} _{{} _{}}} \\ \sqrt{3 - x} + a ( x \leq 3 ) ^{{} ^{{} ^{}}} \end{cases}}$ 일 때, 함수 $f$ 는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $f$ 의 치역은 $\left\{ y | y > 2 \right\}$ 이다. (나) 임의의 두 실수 $x _{1}$ , $x _{2}$ 에 대하여 $x _{1} \ne x _{2}$ 이면 $f ( x _{1} ) \ne f ( x _{2} )$ 이다.

$f ( 2 ) f ( k ) = 40$ 일 때, 상수 $k$ 의 값은? (단, $a$ 는 상수이다.) [4점] ① $\displaystyle \frac{3}{2}$ ② $\displaystyle \frac{5}{2}$ ③ $\displaystyle \frac{7}{2}$ ④ $\displaystyle \frac{9}{2}$ ⑤ $\displaystyle \frac{11}{2}$

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⑤

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해설

[출제의도] 유리함수와 무리함수의 그래프의 성질을 알고 문제해결하기 (가)에서 치역이 $\left\{ y | y > 2 \right\}$ 이고, (나)에서 함수 $f$ 는 일대일함수이므로 주어진 함수의 그래프는 그림과 같다.

$\displaystyle y = \frac{2 x + 3}{x - 2} ( x > 3 )$ $\displaystyle y = \sqrt{3 - x} + 9$

$f ( 3 ) = 9$ 이므로 $a = 9$ $\displaystyle f ( 2 ) = \sqrt{3 - 2} + 9 = 10$ $f ( 2 ) f ( k ) = 10 f \left( k \right) = 40$ $\therefore$ $f ( k ) = 4$ $\displaystyle \frac{2 k + 3}{k - 2} = 4$ $2 k + 3 = 4 k - 8$ 따라서 $\displaystyle k = \frac{11}{2}$

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