일반형 원에 접하는 직선의 상수

$x ^{2} + y ^{2} - 4 x + 2 y + 1 = 0$ 을 변형하면 $\left( x - 2 \right) ^{2} + \left( y + 1 \right) ^{2} = 4$ 이므로 중심은 $( 2 , - 1 )$, 반지름의 길이는 $2$ 이다. 직선 $2 x - y + k = 0$ 이 이 원에 접하므로 $\displaystyle \frac{\left| 2 \times 2 - ( - 1 ) + k \right|}{\sqrt{2 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}}} = 2$ $\displaystyle \left| k + 5 \right| = 2 \sqrt{5}$ $\displaystyle k = - 5 + 2 \sqrt{5}$ 또는 $\displaystyle k = - 5 - 2 \sqrt{5}$ 따라서 모든 실수 $k$ 의 값의 합은 $- 10$ 이다. ①