미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

이어지는 원 넓이 급수

문제

그림과 같이 원점 O\mathrm{O}와 점 (2,0)( 2 , 0 )을 지름의 양 끝으로 하는 원을 C1\mathrm{C} _{1}이라 하자. 또, 원 C1\mathrm{C} _{1}과 직선 y=xy = x가 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 C2\mathrm{C} _{2}, 원 C2\mathrm{C} _{2}와 yy축이 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 C3\mathrm{C} _{3}이라 하자. 또, 원 C3\mathrm{C} _{3}과 직선 y=−xy = - x가 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 C4\mathrm{C} _{4}, 원 C4\mathrm{C} _{4}와 xx축이 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 C5\mathrm{C} _{5}라 하자.

이와 같은 방법으로 중심이 차례로 직선 y=xy = x, yy축, 직선 y=−xy = - x, xx축, ⋯\cdots 위에 있는 원 C6\mathrm{C} _{6}, C7\mathrm{C} _{7}, C8\mathrm{C} _{8}, C9\mathrm{C} _{9}, ⋯\cdots 를 한없이 만들어 갈 때, 원 Cn\mathrm{C} _{\mathit{n}}의 내부와 원 Cn+1\mathrm{C} _{\mathit{n} + 1}의 외부의 공통부분(어두운 부분)의 넓이를 SnS _{n}(n=1,2,3,⋯n = 1 , 2 , 3 , \cdots)이라 하자. 이때 ∑n=1∞Sn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n}의 값은? [4점] ①π+1\pi + 1②32π\displaystyle \frac{3}{2} \pi③54(π+1)\displaystyle \frac{5}{4} ( \pi + 1 )④32(π+1)\displaystyle \frac{3}{2} ( \pi + 1 )⑤2π2 \pi

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①

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해설

[출제의도] 무한등비급수의 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. S1=π−{12×π2+(π4−12)}\displaystyle S _{1} = \pi - \left\{ \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} + \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right) \right\}=π+12\displaystyle = \frac{\pi + 1}{2} 원 Cn\mathrm{C} _{\mathit{n}}의 지름의 길이를 lnl _{n}이라 하면 ln+1=22ln\displaystyle l _{n+1} = \frac{\sqrt{2}}{2} l _{n}이므로 Sn+1=(22)2Sn=12Sn\displaystyle S _{n+1} = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) ^{2} S _{n} = \frac{1}{2} S _{n} ∴ ∑n=1∞Sn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n}=π+121−12=π+1\displaystyle = \frac{\frac{\pi + 1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \pi + 1

태그

#무한등비급수#원#도형

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