이어 붙인 삼차함수의 접선

[출제의도] 접선을 활용하여 함수를 추론한다. $0 < x \leq 4$에서 $g ( x ) = x \left( x - 4 \right) ^{2}$이고 함수 $g ( x )$가 $x = 4$에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 4 +} {g ( x )} = \lim\limits _{x \rightarrow 4 -} {g ( x )}$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 4 +} {f ( x )} = \lim\limits _{x \rightarrow 4 -} {x ( x - 4 ) ^{2}}$ $f ( 4 ) = 0$ 함수 $g ( x )$가 $x = 4$에서 미분가능하므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 4 +} {\frac{g ( x ) - g ( 4 )}{x - 4}} = \lim\limits _{x \rightarrow 4 -} {\frac{g ( x ) - g ( 4 )}{x - 4}}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 4 +} {\frac{f ( x ) - f ( 4 )}{x - 4}} = \lim\limits _{x \rightarrow 4 -} {\frac{x ( x - 4 ) ^{2}}{x - 4}}$ $f' ( 4 ) = 0$ $f ( 4 ) = f' ( 4 ) = 0$이고 $\displaystyle g \left( \frac{21}{2} \right) = f \left( \frac{21}{2} \right) = 0$이므로 $f ( x )$$= a \left( x - 4 \right) ^{2} \left( 2 x - 21 \right)$($a \ne 0$)이라 하자.

[그림 1] [그림 2]

$a > 0$이면 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프의 개형이 [그림 1]과 같으므로 조건 (나)를 만족시키지 못한다. $a < 0$이면 [그림 2]와 같이 조건 (나)를 만족시키는 함수 $y = g ( x )$의 그래프의 개형이 존재한다. 조건 (나)에 의하여 점 $\left( - 2 , 0 \right)$에서 곡선 $y = g ( x )$에 그은 기울기가 $0$이 아닌 접선은 곡선 $y = g ( x )$ 위의 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$에서 곡선 $y = g ( x )$에 접한다. 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 $x$좌표를 각각 $t$, $s$라 하고 $0 < t < 4$, $s > 4$라 하자. $0 < t < 4$에서 $g' ( t ) = 3 t ^{2} - 16 t + 16$이므로 접선의 방정식은 $y$$= \left( 3 t ^{2} - 16 t + 16 \right) \left( x - t \right) + t ^{3} - 8 t ^{2} + 16 t$이다. 접선이 점 $\left( - 2 , 0 \right)$을 지나므로 $\left( 3 t ^{2} - 16 t + 16 \right) \left( - 2 - t \right) + t ^{3} - 8 t ^{2} + 16 t$$= 0$ $2 t ^{3} - 2 t ^{2} - 32 t + 32 = 0$, $\left( t - 4 \right) \left( t + 4 \right) \left( t - 1 \right)$$= 0$ $0 < t < 4$에서 $t = 1$이므로 접선의 방정식은 $y = 3 x + 6$이다. 이 접선이 점 $\mathrm{Q}$에서 곡선 $y = f ( x )$($x > 4$)에 접한다. $f ( x ) = a ( x - 4 ) ^{2} ( 2 x - 21 )$에서 $f' ( x )$$= 2 a \left( 3 x ^{2} - 37 x + 100 \right)$$= 2 a \left( x - 4 \right) \left( 3 x - 25 \right)$ 점 $\mathrm{Q}$에서의 접선의 방정식은 $y = 2 a \left( s - 4 \right) \left( 3 s - 25 \right) \left( x - s \right) + a \left( s - 4 \right) ^{2} \left( 2 s - 21 \right)$ 이 접선이 점 $\left( - 2 , 0 \right)$을 지나므로 $0 = 2 a \left( s - 4 \right) \left( 3 s - 25 \right) \left( - 2 - s \right) + a \left( s - 4 \right) ^{2} \left( 2 s - 21 \right)$ $a \ne 0$, $s > 4$이므로 $\left( s - 4 \right) \left( 2 s - 21 \right) = 2 \left( s + 2 \right) \left( 3 s - 25 \right)$ $4 s ^{2} - 9 s - 184$$= 0$, $( 4 s + 23 ) ( s - 8 ) = 0$, $s = 8$ $f' ( 8 ) = 3$이므로 $\displaystyle a = \mathit{-} \frac{3}{8}$ $f ( x )$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{3}{8} ( x - 4 ) ^{2} \left( 2 x - 21 \right)$이므로 $g ( 10 )$$= f ( 10 )$$\displaystyle = \frac{27}{2}$ 따라서 $p = 2$, $q = 27$이므로 $p + q = 29$