이등변삼각형의 넓이로 꼭짓점 찾기

이등변삼각형 $\mathrm{PAB}$ 에서 꼭짓점 $\mathrm{P}$ 와 밑변 $\mathrm{AB}$ 의 중점 $\mathrm{M}$ 을 이은 선분 $\mathrm{PM}$ 이 높이임을 이용한다. $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} ^{2} = \overline{\mathrm{PB}} ^{2}$ 에서 $( a - 2 ) ^{2} + b ^{2} = a ^{2} + ( b - 4 ) ^{2}$ $- 4 a + 4 = - 8 b + 16$, 즉 $a = 2 b - 3$ ㉠ 선분 $\mathrm{AB}$ 의 중점을 $\mathrm{M}$ 이라 하면 $\mathrm{M} ( 1 , 2 )$ 이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} = \overline{\mathrm{PB}}$ 이므로 선분 $\mathrm{PM}$ 은 밑변 $\mathrm{AB}$ 에 수직인 높이이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{2 ^{2} + 4 ^{2}} = 2 \sqrt{5}$ 이고 넓이가 $10$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{5} \times \overline{\mathrm{PM}} = 10$ 에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PM}} = 2 \sqrt{5}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{PM}} ^{2} = ( a - 1 ) ^{2} + ( b - 2 ) ^{2} = 20$ ㉠을 대입하면 $( 2 b - 4 ) ^{2} + ( b - 2 ) ^{2} = 20$ $5 ( b - 2 ) ^{2} = 20$, $( b - 2 ) ^{2} = 4$ 에서 $b = 4$ 또는 $b = 0$ $b = 4$ 이면 $a = 5$, $b = 0$ 이면 $a = - 3$ $a > 0$ 이므로 $\mathrm{P} ( 5 , 4 )$ 따라서 $a + b = 9$