이등변삼각형이 되는 모든 좌표

$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} ^{2} = 16$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} ^{2} = a ^{2} + 4$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} ^{2} = \left( a - 4 \right) ^{2} + 4$ (ⅰ) $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = \overline{\mathrm{BC}}$인 경우 $a ^{2} + 4 = \left( a - 4 \right) ^{2} + 4$에서 $8 a = 16$, $a = 2$ (ⅱ) $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AC}}$인 경우 $16 = a ^{2} + 4$에서 $a ^{2} = 12$, $\displaystyle a = \pm 2 \sqrt{3}$ (ⅲ) $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{BC}}$인 경우 $16 = \left( a - 4 \right) ^{2} + 4$에서 $\left( a - 4 \right) ^{2} = 12$, $\displaystyle a = 4 \pm 2 \sqrt{3}$ 점 $\mathrm{C}$의 $y$좌표가 $2$이므로 세 점은 어떤 경우에도 한 직선 위에 있지 않아 모두 삼각형이 된다. 따라서 모든 $a$의 값의 합은 $\displaystyle 2 + \left( 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} \right) + \left( 4 + 2 \sqrt{3} + 4 - 2 \sqrt{3} \right) = 10$