이차와 삼차 사이 넓이

[출제의도] 미분과 적분을 활용하여 조건을 만족시키는 정적분의 값을 구하는 문제를 해결한다. 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f \left( x \right)$는 조건 (나)에서 $f \left( 0 \right) = 0$, $f' \left( 0 \right) = 0$이므로 $f \left( x \right) = x ^{2}$ 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $g \left( x \right)$는 조건 (가), (나)에서 $g \left( 0 \right) = 0$, $g \left( a \right) = 0$, $g' \left( a \right) = 0$이므로 $g \left( x \right) = x \left( x - a \right) ^{2}$ $\displaystyle \int _{0} ^{a} \left\{ g \left( x \right) - f \left( x \right) \right\} dx$$\displaystyle = \int _{0} ^{a} \left\{ x ^{3} - \left( 2 a + 1 ) x ^{2} + a ^{2} x \right\} dx \right.$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{4} x ^{4} - \frac{2 a + 1}{3} x ^{3} + \frac{a ^{2}}{2} x ^{2} \end{array} \right] _{0} ^{a}$ $\displaystyle = \frac{1}{12} a ^{4} - \frac{1}{3} a ^{3}$$= 36$ 그러므로 $\left( a - 6 \right) \left( a ^{3} + 2 a ^{2} + 12 a + 72 \right)$$= 0$ $a > 0$이므로 $a = 6$ 두 곡선 $y = f \left( x \right)$, $y = g \left( x \right)$의 교점을 구하면 $\left( 0 , 0 \right)$, $\left( 4 , 16 \right)$, $\left( 9 , 81 \right)$ $\displaystyle \int _{0} ^{6} \left| f \left( x \right) - g \left( x \right) \right| dx$$\displaystyle = \int _{0} ^{4} \left\{ g \left( x \right) - f \left( x \right) \right\} dx + \int _{4} ^{6} \left\{ f \left( x \right) - g \left( x \right) \right\} dx$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{4} x ^{4} - \frac{13}{3} x ^{3} + 18 x ^{2} \end{array} \right] _{0} ^{4} + \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} - \frac{1}{4} x ^{4} + \frac{13}{3} x ^{3} - 18 x ^{2} \end{array} \right] _{4} ^{6}$ $\displaystyle = \frac{340}{3}$ 따라서 $\displaystyle 3 \int _{0} ^{a} \left| f \left( x \right) - g \left( x \right) \right| dx$$= 340$