공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

이차식 수열의 최댓값과 최솟값의 합

문제

삼각형 $T _{n}$ 의 넓이가 $a _{n} = - n ^{2} + 24 n + 20$ 일 때, $a _{1} , a _{2} , \cdots , a _{m}$ 중에서 최댓값과 최솟값의 합은? (단, $n = 1 , 2 , \cdots , m$ 이고 $a _{m} a _{m+1} < 0$ )

① $149$ ② $159$ ③ $164$ ④ $184$ ⑤ $207$

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④

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해설

$n$ 에 관한 이차방정식 $- n ^{2} + 24 n + 20 = 0$ 의 근을 구하면 $\displaystyle n = 12 \pm \sqrt{164}$ 따라서, 조건 $a _{m} a _{m+1} < 0$ 을 만족하는 $m$ 의 값은 $m = 24$ ( $\because m$ 은 양의 정수) $a _{n}$ 은 꼭지점( $n = 12$ )과 $n = 24$ 에서 각각 최댓값과 최솟값이 된다. $a _{12} = - 12 ^{2} + 24 \times 12 + 20 = 164$ $a _{24} = 20$ 따라서, 최댓값과 최솟값의 합은 $184$ 이다.

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