이차식 인수분해 조건

[출제의도] 인수분해 추론하기 주어진 이차식을 $x$에 대한 내림차순으로 정리하면 $x ^{2} + \left( ky + 1 \right) x - 3 y ^{2} + 11 y - 6$ $= x ^{2} + \left( ky + 1 \right) x - \left( 3 y - 2 \right) \left( y - 3 \right)$이다. $x$, $y$에 대한 두 일차식의 곱으로 인수분해되려면 $\left( 3 y - 2 \right) - \left( y - 3 \right) = ky + 1$이다. $y$의 계수를 비교하면 $k = 2$이다. [다른 풀이] 주어진 이차식을 $x$에 대한 내림차순으로 정리한 이차방정식은 $x ^{2} + \left( ky + 1 \right) x - 3 y ^{2} + 11 y - 6 = 0$이다. 이때 $\left( ky + 1 \right) ^{2} - 4 \left( - 3 y ^{2} + 11 y - 6 \right) = A$라 하면 $\displaystyle x = \frac{- \left( ky + 1 \right) \pm \sqrt{A}}{2}$이다. $x ^{2} + \left( ky + 1 \right) x - 3 y ^{2} + 11 y - 6$ $\displaystyle = \left\{ x - \frac{- \left( ky + 1 \right) + \sqrt{A}}{2} \right\} \left\{ x - \frac{- \left( ky + 1 \right) - \sqrt{A}}{2} \right\}$ 이때 $x$, $y$에 대한 일차식이 되려면 $A$가 완전제곱식이어야 하므로 이차방정식 $A = 0$의 판별식 $D = 0$이다. $y$에 대한 이차방정식 $\left( k ^{2} + 12 \right) y ^{2} + 2 \left( k - 22 \right) y + 25 = 0$에 대해 $\displaystyle \frac{D}{4} = \left( k - 22 \right) ^{2} - 25 \left( k ^{2} + 12 \right) = 0$이다. 식을 전개하여 인수분해하면 $6 k ^{2} + 11 k - 46 = \left( k - 2 \right) \left( 6 k + 23 \right) = 0$이다. 따라서 자연수 $k$의 값은 $2$이다.