이차함수와 x축 사이 넓이

$f ( x )$가 최고차항의 계수가 $1$이고 $f ( 3 ) = 0$인 이차함수이므로 $f ( x ) = ( x - 3 ) ( x - a )$$= x ^{2} - ( a + 3 ) x + 3 a ( a$는 상수) 로 놓을 수 있다. $\displaystyle \int _{0} ^{2013} f ( x ) dx = \int _{3} ^{2013} f ( x ) dx$에서 $\displaystyle \int _{0} ^{3} {f ( x )} dx = 0 \cdots \cdots \text{㉠}$이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{3} \left\{ x ^{2} - ( a + 3 ) x + 3 a \right\} dx$$\displaystyle = \left[ \frac{1}{3} x ^{3} - \frac{a + 3}{2} x ^{2} + 3 ax \right] _{0} ^{3}$ $\displaystyle = 9 - \frac{9}{2} a - \frac{27}{2} + 9 a$$\displaystyle = \frac{9}{2} a - \frac{9}{2} = 0$ $\therefore a = 1$ 즉, $f ( x ) = x ^{2} - 4 x + 3$이므로 $\displaystyle S = \left| \int _{1} ^{3} ( x ^{2} - 4 x + 3 ) dx \right|$$\displaystyle = \left| \left[ \frac{1}{3} x ^{3} - 2 x ^{2} + 3 x \right] _{1} ^{3} \right|$ $\displaystyle = \left| ( 9 - 18 + 9 ) - \left( \frac{1}{3} - 2 + 3 \right) \right|$$\displaystyle = \left| - \frac{4}{3} \right| = \frac{4}{3}$ $\displaystyle \therefore 30 S = 30 \times \frac{4}{3} = 40$