공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

이차함수와 직선

문제

최고차항의 계수가 11인 이차함수 f(x)f \left( x \right)에 대하여 방정식 f(x)=0f \left( x \right) = 0은 서로 다른 두 실근을 갖고, 두 근의 곱은 44이다. 방정식 f(x)=−x+1f \left( x \right) = - x + 1의 두 근의 차가 22일 때, f(6)f \left( 6 \right)의 값은? [4점] ①77②1010③1313④1616⑤1919

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②

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해설

f(x)=x2+ax+bf \left( x \right) = x ^{2} + ax + b (단, aa, bb는 상수)라 하자. 이차방정식 f(x)=0f \left( x \right) = 0의 판별식을 DD라 하면 D=a2−4b>0D = a ^{2} - 4 b > 0 ⋯\cdots⋯\cdots ㉠ 이차방정식 f(x)=0f \left( x \right) = 0에서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 b=4b = 4 이차방정식 x2+ax+4=−x+1x ^{2} + ax + 4 = - x + 1의 두 근을 α\alpha, β\beta라 하면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 α+β=−(a+1)\alpha + \beta = - \left( a + 1 \right), αβ=3\alpha \beta = 3 ∣α−β∣=2\left| \alpha - \beta \right| = 2 (α−β)2=(α+β)2−4αβ=(a+1)2−12=4\left( \alpha - \beta \right) ^{2} = \left( \alpha + \beta \right) ^{2} - 4 \alpha \beta = \left( a + 1 \right) ^{2} - 12 = 4 (a+1)2=16\left( a + 1 \right) ^{2} = 16 a=−5a = - 5 또는 a=3a = 3 ㉠에 의하여 a=−5a = - 5 f(x)=x2−5x+4f \left( x \right) = x ^{2} - 5 x + 4 따라서 f(6)=10f \left( 6 \right) = 10

태그

#근과 계수의 관계#이차함수

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