이차함수와 접선

점$( a , f ( a ) )$에서의 접선의 방정식은 $y - f ( a ) = f' ( a ) ( x - a )$ 즉, $y = f' ( a ) ( x - a ) + f ( a )$이므로 $h ( x ) = f ( x ) - g ( x ) = f ( x ) - \left\{ f' ( a ) ( x - a ) + f ( a ) \right\}$ $= f ( x ) - f' ( a ) x + a f' ( a ) - f ( a )$ ㄱ. $h ( x )$는 이차함수이므로 아래의 그림과 같이 $h ( x _{1} ) = h ( x _{2} )$인 서로 다른 두 실수$x _{1} , x _{2}$가 존재한다. (참)

ㄴ. $h' ( x ) = f' ( x ) - f' ( a )$이므로 $h' ( a ) = 0$ 이 때, $f ( x )$의 이차항의 계수가 양이면 $h ( x )$는 $x = a$에서 극소값을 갖고, $f ( x )$의 이차항의 계수가 음이면 $h ( x )$는 $x = a$에서 극대값을 갖는다. (거짓) ㄷ. $h ( a ) = 0$이므로 ㄴ에 의하여 $h ( x ) \geq 0$ 또는 $h ( x ) \leq 0$ 따라서, 부등식$\displaystyle - \frac{1}{100} < h ( x ) < \frac{1}{100}$의 해는 항상 존재한다. (참) 그러므로, 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.