이차함수와 두 직선

조건에 의하여 두 방정식 $f \left( x \right) - g \left( x \right) = 0$, $f \left( x \right) - h \left( x \right) = 0$이 모두 실근을 가져야 한다. (ⅰ) $f \left( x \right) - g \left( x \right) = 0$과 $f \left( x \right) - h \left( x \right) = 0$이 모두 서로 다른 두 실근을 갖는 경우 $f \left( x \right) - g \left( x \right) = 0$의 서로 다른 두 실근을 $x _{1}$, $x _{2} \left( x _{1} < x _{2} \right)$라 하고, $f \left( x \right) - h \left( x \right) = 0$의 서로 다른 두 실근을 $x _{3}$, $x _{4} \left( x _{3} < x _{4} \right)$라 하면, 네 수 $x _{1}$, $x _{2}$, $x _{3}$, $x _{4}$의 대소 관계에 따른 세 함수 $y = f \left( x \right)$, $y = g \left( x \right)$, $y = h \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

⑤ $x _{1} < x _{3} < x _{4} < x _{2}$

①$\sim$⑤인 경우는 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $f \left( x \right) - g \left( x \right) = 0$이 중근, $f \left( x \right) - h \left( x \right) = 0$이 서로 다른 두 실근을 갖는 경우 $f \left( x \right) - g \left( x \right) = 0$의 중근을 $x _{1}$이라 하고, $f \left( x \right) - h \left( x \right) = 0$의 서로 다른 두 실근을 $x _{2}$, $x _{3} \left( x _{2} < x _{3} \right)$이라 하자.

$x _{2} < x _{3} < x _{1}$이므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅲ) $f \left( x \right) - g \left( x \right) = 0$이 서로 다른 두 실근, $f \left( x \right) - h \left( x \right) = 0$이 중근을 갖는 경우 $f \left( x \right) - g \left( x \right) = 0$의 서로 다른 두 실근을 $x _{1}$, $x _{2} \left( x _{1} < x _{2} \right)$라 하고, $f \left( x \right) - h \left( x \right) = 0$의 중근을 $x _{3}$이라 하면, 세 수 $x _{1}$, $x _{2}$, $x _{3}$의 대소관계에 따른 세 함수 $y = f \left( x \right)$, $y = g \left( x \right)$, $y = h \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

③ $x _{1} < x _{3} < x _{2}$

①, ③인 경우는 조건을 만족시키지 않는다. ② $x _{1} = x _{3} < x _{2}$인 경우 $\left\{ f \left( x \right) - g \left( x \right) \right\} \left\{ f \left( x \right) - h \left( x \right) \right\}$$\displaystyle = \frac{1}{16} \left( x - x _{1} \right) ^{3} \left( x - x _{2} \right)$ $x _{1} = x _{3} = 0$, $\alpha = 0$ $f \left( 0 \right) = g \left( 0 \right) = 7$이므로 $a = 3$ $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{4} \left( x - 4 \right) ^{2} + 3$ $f \left( x \right) - h \left( x \right) = 0$에서 $\displaystyle \frac{1}{4} \left( x - 4 \right) ^{2} + 3 + \frac{1}{b} x - 7 = 0$ $\displaystyle \frac{1}{4} x ^{2} + \left( \frac{1}{b} - 2 \right) x = 0$은 중근 $0$을 가지므로 $\displaystyle b = \frac{1}{2}$ $f \left( x \right) - g \left( x \right)$$\displaystyle = \frac{1}{4} \left( x - 4 \right) ^{2} + 3 - \frac{1}{2} x - 7$$\displaystyle = \frac{1}{4} x \left( x - 10 \right)$ $x _{2} = 10$, $\beta = 10$ ${\mathrm{A}} \left( 0 , 7 \right)$, ${\mathrm{B}} \left( 10 , 12 \right)$, ${\mathrm{C}} \left( 0 , 0 \right)$, ${\mathrm{D}} \left( 10 , 0 \right)$

사각형 ${\mathrm{ACDB}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( 7 + 12 \right) \times 10 = 95$ (ⅳ) $f \left( x \right) - g \left( x \right) = 0$, $f \left( x \right) - h \left( x \right) = 0$이 모두 중근을 갖는 경우 $f \left( x \right) - g \left( x \right) = 0$의 중근을 $x _{1}$, $f \left( x \right) - h \left( x \right) = 0$의 중근을 $x _{2}$라 하자.

$x _{2} < x _{1}$이므로 $\left\{ f \left( x \right) - g \left( x \right) \right\} \left\{ f \left( x \right) - h \left( x \right) \right\}$$\displaystyle = \frac{1}{16} \left( x - x _{1} \right) ^{2} \left( x - x _{2} \right) ^{2}$ $f \left( x \right) - g \left( x \right) = 0$에서 $\displaystyle \frac{1}{4} \left( x - 4 \right) ^{2} + a - bx - 7 = 0$의 판별식을 $D _{1}$이라 하면 $D _{1} = \left( b + 2 \right) ^{2} - a + 3 = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $f \left( x \right) - h \left( x \right) = 0$에서 $\displaystyle \frac{1}{4} \left( x - 4 \right) ^{2} + a + \frac{1}{b} x - 7 = 0$의 판별식을 $D _{2}$라 하면 $\displaystyle D _{2} = \left( \frac{1}{b} - 2 \right) ^{2} - a + 3 = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 $a = 8$, $\displaystyle b = - 2 + \sqrt{5} \left( b > 0 \right)$ $\displaystyle f \left( x \right) - g \left( x \right) = \frac{1}{4} \left( x - 2 \sqrt{5} \right) ^{2} = 0$ $\displaystyle x _{1} = 2 \sqrt{5}$, $\displaystyle \beta = 2 \sqrt{5}$ $\displaystyle f \left( x \right) - h \left( x \right) = \frac{1}{4} \left( x + 2 \sqrt{5} \right) ^{2} = 0$, $\displaystyle x _{2} = - 2 \sqrt{5}$, $\displaystyle \alpha = - 2 \sqrt{5}$ $\displaystyle {\mathrm{A}} \left( - 2 \sqrt{5} , 17 + 4 \sqrt{5} \right)$, $\displaystyle {\mathrm{B}} \left( 2 \sqrt{5} , 17 - 4 \sqrt{5} \right)$, $\displaystyle {\mathrm{C}} \left( - 2 \sqrt{5} , 0 \right)$, $\displaystyle {\mathrm{D}} \left( 2 \sqrt{5} , 0 \right)$

사각형 ${\mathrm{ACDB}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( 17 + 4 \sqrt{5} + 17 - 4 \sqrt{5} \right) \times 4 \sqrt{5} = 68 \sqrt{5}$ (ⅰ)$\sim$(ⅳ)에 의하여 $\displaystyle M = 68 \sqrt{5}$, $m = 95$이고 $\displaystyle M + m = 95 + 68 \sqrt{5}$ $p = 95$, $q = 68$ 따라서 $p + q = 163$