이차함수와 두 교점 차

[출제의도] 이차함수와 이차방정식의 관계를 활용하여 문제해결하기 이차함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 $\left( a , ka \right)$라 하면 $f \left( x \right) = \left( x - a \right) ^{2} + ka$ 이차함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = kx + 5$가 만나는 두 점의 $x$좌표 $\alpha$, $\beta$는 방정식 $\left( x - a \right) ^{2} + ka = kx + 5$의 근이므로 $x ^{2} - \left( 2 a + k \right) x + a ^{2} + ka - 5 = 0$에서 근과 계수의 관계에 의하여 $\alpha + \beta = 2 a + k$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ $\alpha \beta = a ^{2} + ka - 5$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ 이차함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 축이 직선 $\displaystyle x = \frac{\alpha + \beta}{2} - \frac{1}{4}$이므로 $\displaystyle \frac{\alpha + \beta}{2} - \frac{1}{4} = a$ $\therefore$ $\displaystyle \alpha + \beta = 2 a + \frac{1}{2}$ $\text{㉠}$에서 $\displaystyle 2 a + \frac{1}{2} = 2 a + k$이므로 $\displaystyle k = \frac{1}{2}$ $\text{㉡}$에서 $\alpha \beta = a ^{2} + ka - 5$$\displaystyle = a ^{2} + \frac{1}{2} a - 5$ 따라서 $\displaystyle \left| \alpha - \beta \right| = \sqrt{\left( \alpha - \beta \right) ^{2}} = \sqrt{\left( \alpha + \beta \right) ^{2} - 4 \alpha \beta}$ $\displaystyle = \sqrt{\left( 2 a + \frac{1}{2} \right) ^{2} - 4 \left( a ^{2} + \frac{1}{2} a - 5 \right)}$ $\displaystyle = \sqrt{\frac{81}{4}} = \frac{9}{2}$