이차함수 정점 보기

[출제의도] 이차함수와 항등식의 성질을 이용하여 주어진 명제의 참, 거짓을 판단한다. ㄱ. (참) $k = 1$일 때 $f ( x ) = ( x - 1 ) ^{2} - 2$이므로 $\mathrm{A} ( 1 , - 2 )$ ∴ $\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} = \sqrt{1 ^{2} + ( - 2 ) ^{2}} = \sqrt{5}$ ㄴ. (참) $y = k ( x - 1 ) ^{2} - 4 k + 2$를 $k$에 대하여 정리하면 $k \left\{ ( x - 1 ) ^{2} - 4 \right\} + 2 - y = 0$ 이 등식이 $0$이 아닌 실수 $k$의 값에 관계없이 성립하려면 $( x - 1 ) ^{2} = 4$, $2 - y = 0$ 이어야 하므로 $x = 3$, $y = 2$ 또는 $x = - 1$, $y = 2$ 따라서 곡선 $y = f ( x )$는 $0$이 아닌 실수 $k$의 값에 관계없이 항상 두 점 $( 3 , 2 )$, $( - 1 , 2 )$를 지난다. ㄷ. (참) $\mathrm{A} \mathit{(} 1 , - 4 k + 2 )$, $\mathrm{B} \mathit{(} 0 , - 3 k + 2 )$이고 직선 $\mathrm{AB}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{( - 4 k + 2 ) - ( - 3 k + 2 )}{1 - 0} = - k$ 따라서 직선 $\mathrm{AB}$의 방정식은 $y = - kx - 3 k + 2$ 이 등식을 $k$에 대하여 정리하면 $k ( x + 3 ) + y - 2 = 0$ 이 등식이 $0$이 아닌 실수 $k$의 값에 관계없이 성립하려면 $x + 3 = 0$, $y - 2 = 0$ 이어야 하므로 $x = - 3$, $y = 2$ 따라서 직선 $\mathrm{AB}$는 $0$이 아닌 실수 $k$의 값에 관계없이 항상 점 $( - 3 , 2 )$를 지난다. 그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.