이차함수 절댓값 집합 조건

집합 $X$는 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 직선 $y = 1$ 또는 직선 $y = - 1$과 만나는 점의 $x$좌표를 원소로 갖는 집합이고 집합 $Y$는 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프가 직선 $y = 1$ 또는 직선 $y = - 1$과 만나는 점의 $x$좌표를 원소로 갖는 집합이다. 조건 (가)에서 $n \left( X \cap Y \right) = 3$, $n \left( X \cup Y \right) = 4$이므로 $3 \leq n \left( X \right) \leq 4$, $3 \leq n \left( Y \right) \leq 4$ 또한 $n \left( X \cup Y \right) = n \left( X \right) + n \left( Y \right) - n \left( X \cap Y \right)$에서 $n \left( X \right) + n \left( Y \right) = n \left( X \cup Y \right) + n \left( X \cap Y \right) = 7$이므로 $n \left( X \right) = 3$, $n \left( Y \right) = 4$ 또는 $n \left( X \right) = 4$, $n \left( Y \right) = 3$ (ⅰ) $n \left( X \right) = 3$, $n \left( Y \right) = 4$일 때 함수 $f \left( x \right)$는 최고차항의 계수가 양수인 이차함수이고 $n \left( X \right) = 3$이므로 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 직선 $y = - 1$에 접하고 직선 $y = 1$과 서로 다른 두 점에서 만난다. 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = - 1$이 만나는 점의 $x$좌표를 $a$라 하면 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $\left( a , - 1 \right)$이므로 $f \left( x \right) = k \left( x - a \right) ^{2} - 1 \left( k \right.$는 양의 실수$\left. \right)$ 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 직선 $x = a$에 대하여 대칭이므로 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 직선 $y = 1$과 만나는 두 점의 $x$좌표는 어떤 양의 실수 $b$에 대하여 $a - b$, $a + b$이다. 그러므로 $X = \left\{ a - b , a , a + b \right\}$

$n \left( X \right) = n \left( X \cap Y \right) = 3$에서 $X = X \cap Y$이므로 조건 (나)에 의하여 $\left( a - b \right) + a + \left( a + b \right) = 3 a = 3$, $a = 1$ 그러므로 $f \left( x \right) = k \left( x - 1 \right) ^{2} - 1$이 되어 $f \left( 2 \right) < f \left( 1 \right)$을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $n \left( X \right) = 4$, $n \left( Y \right) = 3$일 때 함수 $g \left( x \right)$는 최고차항의 계수가 음수인 이차함수이고 $n \left( Y \right) = 3$이므로 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프는 직선 $y = 1$에 접하고 직선 $y = - 1$과 서로 다른 두 점에서 만난다. 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = 1$이 만나는 점의 $x$좌표를 $a$라 하면 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $\left( a , 1 \right)$이므로 $g \left( x \right) = k \left( x - a \right) ^{2} + 1 \left( k \right.$는 음의 실수$\left. \right)$ 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프가 직선 $x = a$에 대하여 대칭이므로 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프가 직선 $y = - 1$과 만나는 두 점의 $x$좌표는 어떤 양의 실수 $b$에 대하여 $a - b$, $a + b$이다. 그러므로 $Y = \left\{ a - b , a , a + b \right\}$

$n \left( Y \right) = n \left( X \cap Y \right) = 3$에서 $Y = X \cap Y$이므로 조건 (나)에 의하여 $\left( a - b \right) + a + \left( a + b \right) = 3 a = 3$, $a = 1$ 그러므로 $Y = \left\{ 1 - b , 1 , 1 + b \right\}$이고 $g \left( x \right) = k \left( x - 1 \right) ^{2} + 1$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $n \left( X \right) = 4$이므로 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 두 직선 $y = 1$, $y = - 1$과 각각 서로 다른 두 점에서 만난다. 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 축의 방정식을 $x = m$이라 하면 $f \left( x \right) = t \left( x - m \right) ^{2} + s \left( t \right.$는 양의 실수, $s$는 실수$\left. \right)$ 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 직선 $x = m$에 대하여 대칭이므로 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 직선 $y = - 1$과 만나는 두 점의 $x$좌표는 어떤 양의 실수 $c$에 대하여 $m - c$, $m + c$이고 직선 $y = 1$과 만나는 두 점의 $x$좌표는 어떤 양의 실수 $d$에 대하여 $m - d$, $m + d$이다. (단, $c < d$) 그러므로 $X = \left\{ m - d , m - c , m + c , m + d \right\}$

$n \left( X \right) = n \left( X \cup Y \right) = 4$에서 $X = X \cup Y$이므로 조건 (나)에 의하여 $\left( m - d \right) + \left( m - c \right) + \left( m + c \right) + \left( m + d \right) = 4 m = 8$ $m = 2$ 그러므로 $f \left( x \right) = t \left( x - 2 \right) ^{2} + s$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 가 되어 $f \left( 2 \right) < f \left( 1 \right)$을 만족시킨다. $Y$$= \left\{ 1 - b , 1 , 1 + b \right\}$, $X = \left\{ 2 - d , 2 - c , 2 + c , 2 + d \right\}$이고 $Y = \left( X \cap Y \right) \subset \left( X \cup Y \right) = X$ 집합 $Y$의 원소 중 $\mathrm{1}$보다 작거나 같은 수는 $1 - b$, $1$뿐이고 $\left( 1 - b \right) \in X$, $1 \in X$이므로 $1 - b = 2 - d$, $1 = 2 - c$에서 $d = b + 1$, $c = 1$ 그러므로 $X = \left\{ 1 - b , 1 , 3 , 3 + b \right\}$ 또한 $\left( 1 + b \right) \in X$에서 $1 + b = 3$, $b = 2$이므로 $X = \left\{ - 1 , 1 , 3 , 5 \right\}$, $Y = \left\{ - 1 , 1 , 3 \right\}$

함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 두 점 $\left( - 1 , 1 \right)$, $\left( 1 , - 1 \right)$을 지나므로 ㉡에서 $f \left( - 1 \right) = 9 t + s = 1$, $f \left( 1 \right) = t + s = - 1$ 두 식을 연립하여 계산하면 $\displaystyle t = \frac{1}{4}$, $\displaystyle s = - \frac{5}{4}$이고 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{4} \left( x - 2 \right) ^{2} - \frac{5}{4}$ 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프가 점 $\left( - 1 , - 1 \right)$을 지나므로 ㉠에서 $g \left( - 1 \right) = 4 k + 1 = - 1$, $\displaystyle k = - \frac{1}{2}$이고 $\displaystyle g \left( x \right) = - \frac{1}{2} \left( x - 1 \right) ^{2} + 1$ 따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $f \left( 7 \right) - g \left( 9 \right) = 5 - \left( - 31 \right) = 36$