이차함수 합성 보기

[출제의도] 지수함수의 성질을 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다. ㄱ. $f ( x ) = ax ^{2} + bx + c$이면 $f' ( x ) = 2 ax + b$ $e ^{f ( x )} > 0$이므로 $g ( 0 ) = 0$이면 $f' ( 0 ) = 0$ 이므로 $b = 0$이다. 따라서 $f ( x ) = f ( - x )$ (참) ㄴ. $g' ( x )$$= f'' ( x ) e ^{f ( x )} + \left\{ f' ( x ) \right\} ^{2} e ^{f ( x )}$ $= \left\{ 2 a + ( 2 ax + b ) ^{2} \right\} e ^{f ( x )}$ 함수 $g \left( x \right)$는 극값을 가지므로 $4 a ^{2} x ^{2} + 4 abx + b ^{2} + 2 a = 0$에서 서로 다른 두 근이 존재해야 한다. 따라서 판별식 $4 a ^{2} b ^{2} - 4 a ^{2} ( b ^{2} + 2 a ) = - 8 a ^{3} > 0$에서 $a < 0$이다. (참) ㄷ. 이차함수 $f ( x )$의 도함수 $f' ( x ) = 2 ax + b$이고 $f'' ( x ) = 2 a$이므로 $g' ( x ) = 0$이 되는 $x$의 값은 $x =$$\displaystyle \frac{1}{2 a} \left( - b \pm \sqrt{- 2 a} \right)$이고, 이 값을 각각 $\alpha , \beta$ ($\alpha < \beta$)라 하자.

$y = g ( x )$는 $\displaystyle \left( \frac{\alpha + \beta}{2} , 0 \right)$에 대하여 대칭이므로 $\left| g ( \alpha ) \right| = \left| g ( \beta ) \right|$이다. $\displaystyle \int _{x} ^{x + 4} {\left| g ( t ) \right|} dt$는 $y = \left| g ( x ) \right|$의 그래프에서 $x$값에 따라 적분 구간의 길이가 $4$가 되도록 적분한 값이다. $\left| g ( \alpha ) \right| = \left| g ( \beta ) \right|$이므로 $2 \left| g ( \alpha ) \right|$는 밑변의 길이가 $4$이고 높이가 $\left| g ( \alpha ) \right|$인 삼각형의 넓이이다. 즉, $y = \left| g ( x ) \right|$의 그래프에서 적분 구간의 길이가 $4$가 되도록 하여 적분한 값과 극댓값을 높이로 하는 삼각형의 넓이가 같아지는 경우가 반드시 생기는지 확인하면 된다. $\displaystyle \left| \alpha - \beta \right| = \left| \frac{\sqrt{- 2 a}}{a} \right|$이므로 $a$의 값이 커지면 극값의 간격은 줄어든다. $a < 0$이므로 $\left| \alpha - \beta \right| < 4$가 되도록 하는 $a$의 값인 $\displaystyle a < - \frac{1}{8}$인 경우는 적분 구간의 길이가 $4$인 범위에 $\left| g ( \alpha ) \right| = \left| g ( \beta ) \right|$가 되는 $\alpha , \beta$가 존재하게 된다.

$a$의 값이 작아지면 $\left| \alpha - \beta \right|$의 값이 작아지고 $\displaystyle \int _{x} ^{x + 4} {\left| g ( t ) \right|} dt$의 값이 최대가 되는 $x$에 대하여 $\displaystyle \int _{x} ^{x + 4} {\left| g ( t ) \right|} dt$$= 2 \left| g ( \alpha ) \right|$을 만족하는 $x$가 존재하지 않는 경우가 생긴다.

반례) $f ( x ) = - 4 x ^{2} - 1$이면 $f' ( x ) = - 8 x$이고 $g ( x ) = - 8 xe ^{- 4 x ^{2} - 1}$이므로 $g' ( x ) = \left\{ ( 8 x ) ^{2} - 8 \right\} e ^{- 4 x ^{2} - 1}$이다. 따라서 $g ( x )$는 $\displaystyle x = - \frac{1}{2 \sqrt{2}}$에서 극댓값 $\displaystyle \frac{2 \sqrt{2}}{e \sqrt{e}}$를 가지므로 $\displaystyle 2 \left| g ( \alpha ) \right| = \frac{4 \sqrt{2}}{e \sqrt{e}}$이다. $y = g ( x )$는 $( 0 , 0 )$에 대하여 대칭이므로 $y = \left| g ( x ) \right|$는 $y$축에 대하여 대칭이다. $\displaystyle \int _{x} ^{x + 4} {\left| g ( t ) \right|} dt$의 최댓값은 $\displaystyle \int _{- 2} ^{2} {\left| g ( t ) \right|} dt = 2 \int _{- 2} ^{0} g ( t ) dt$이다. $f ( t ) = s$라 두면 $f' ( t ) dt = ds$이므로 $\displaystyle 2 \int _{- 2} ^{0} g ( t ) dt = 2 \int _{- 17} ^{- 1} {e ^{s}} ds = 2 {\left[ e ^{s} \right] ^{-1}} _{-17} = 2 e ^{-1} - 2 e ^{-17}$$\displaystyle = \frac{2}{e} - \frac{2}{e ^{17}} = 2 \left( \frac{e ^{16} - 1}{e ^{17}} \right)$ $\displaystyle 2 \left| g ( \alpha ) \right| = \frac{4 \sqrt{2}}{e \sqrt{e}}$$\displaystyle > 2 \left( \frac{e ^{16} - 1}{e ^{17}} \right)$$=$$\displaystyle \int _{- 2} ^{2} {\left| g ( t ) \right|} dt$이므로 조건을 만족하는 $x$의 값은 존재하지 않는다.