공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

이차함수 합성 방정식

문제

이차함수 f(x)f ( x )가 다음 조건을 만족시킨다. (가) f(0)=f(2)=0f ( 0 ) = f ( 2 ) = 0 (나) 이차방정식 f(x)−6(x−2)=0f ( x ) - 6 ( x - 2 ) = 0의 실근의 개수는 11이다.

방정식 (f∘f)(x)=−3( f \circ f ) ( x ) = - 3의 서로 다른 실근을 모두 곱한 값은? [4점] ①−13\displaystyle - \frac{1}{3}②−23\displaystyle - \frac{2}{3}③−1- 1④−43\displaystyle - \frac{4}{3}⑤−53\displaystyle - \frac{5}{3}

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①

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해설

[출제의도] 함수의 그래프와 방정식의 관계를 이해하여 실근의 곱을 구하는 문제를 해결한다.

조건 (가)에 의해 이차함수 f(x)f ( x )=ax(x−2)= a x ( x - 2 ) (aa는 상수)꼴이다. 조건 (나)에 의해 ax(x−2)ax ( x - 2 )−6(x−2)=0- 6 ( x - 2 ) = 0이므로 (ax−6)(x−2)( ax - 6 ) ( x - 2 )=0= 0이다. 이차방정식의 실근의 개수가 11이므로 ax−6ax - 6=0= 0의 근도 xx=2= 2이다. 즉, aa=3= 3이다. f(x)f ( x )=3x(x−2)= 3 x ( x - 2 )=3(x−1)2−3= 3 ( x - 1 ) ^{2} - 3이므로 이차함수 f(x)f ( x )의 꼭짓점은 (1,−3)( 1 , - 3 )이다. f(f(x))f \left( f ( x ) \right)=−3= - 3을 만족하기 위해서는 f(x)=1f ( x ) = 1이 되어야 함을 그래프에서 알 수 있다. 그러므로 3x2−6x=13 x ^{2} - 6 x = 1에서 3x2−6x−1=03 x ^{2} - 6 x - 1 = 0이다. 따라서 서로 다른 두 실근의 곱은 근과 계수의 관계에서 −13\displaystyle - \frac{1}{3}이다.

태그

#이차함수#합성함수#근과 계수

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