이차함수 구간별 최대최소

[출제의도] 이차함수의 최대, 최소 추론하기 함수 $f \left( x \right) = \left( x - a \right) ^{2}$이므로 이차함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $\left( a , 0 \right)$이고, 조건 (가)에 의해 $2 \leq a \leq 10$이다. (ⅰ) $a = 2$인 경우 $2 \leq x \leq 6$에서 함수 $f \left( x \right)$의 최댓값과 $6 \leq x \leq 10$에서 함수 $f \left( x \right)$의 최솟값은 $f \left( 6 \right)$으로 같으므로 조건 (나)를 만족시킨다. 그러므로 $f \left( - 1 \right) = \left( - 1 - 2 \right) ^{2} = 9$

$f \left( x \right) = \left( x - a \right) ^{2}$

(ⅱ) $2 < a \leq 6$인 경우 $2 \leq x \leq 6$에서 함수 $f \left( x \right)$의 최댓값은 $f \left( 2 \right)$ 또는 $f \left( 6 \right)$이고 $6 \leq x \leq 10$에서 함수 $f \left( x \right)$의 최솟값은 $f \left( 6 \right)$이므로 조건 (나)에 의해 $f \left( 2 \right) \leq f \left( 6 \right)$이다. $\left( 2 - a \right) ^{2} - \left( 6 - a \right) ^{2} \leq 0$에서 $a \leq 4$이므로 $2 < a \leq 4$ $f \left( - 1 \right) = \left( - 1 - a \right) ^{2}$이므로 $9 < f \left( - 1 \right) \leq 25$

$f ( x ) = \left( x - a \right) ^{2}$ ($2 < a \leq 4$인 경우)

$f ( x ) = \left( x - a \right) ^{2}$ ($4 < a \leq 6$인 경우)

(ⅲ) $6 < a \leq 10$인 경우 $2 \leq x \leq 6$에서 함수 $f \left( x \right)$의 최댓값은 $f \left( 2 \right)$이고 $6 \leq x \leq 10$에서 함수 $f \left( x \right)$의 최솟값은 $0$이다. $f \left( 2 \right) > 0$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

$f ( x ) = \left( x - a \right) ^{2}$

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 $9 \leq f \left( - 1 \right) \leq 25$이므로 $M + m = 25 + 9 = 34$이다.