이차함수 길이 합 부등식

세 점 ${\mathrm{P}}$, ${\mathrm{Q}}$, ${\mathrm{R}}$의 좌표는 각각 ${\mathrm{P}} \mathit{\left( a , a ^{2} - 3 a + 3 \right)}$, ${\mathrm{Q}} \mathit{\left( a , 2 a ^{2} - 4 a \right)}$, ${\mathrm{R}} \mathit{\left( a , 0 \right)}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PR}}} = \left| a ^{2} - 3 a + 3 \right|$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{QR}}} = \left| 2 a ^{2} - 4 a \right|$이다. 이차방정식 $x ^{2} - 3 x + 3 = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D = \left( - 3 \right) ^{2} - 4 \times 1 \times 3 = - 3 < 0$ 이므로 모든 실수 $x$에 대하여 $x ^{2} - 3 x + 3 > 0$ 그러므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PR}}} = \left| a ^{2} - 3 a + 3 \right| = a ^{2} - 3 a + 3$ $2 a ^{2} - 4 a = 2 a \left( a - 2 \right)$에서 $0 < a < 2$이면 $2 a ^{2} - 4 a < 0$이므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{QR}}} = - 2 a ^{2} + 4 a$, $a > 2$이면 $2 a ^{2} - 4 a > 0$이므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{QR}}} = 2 a ^{2} - 4 a$이다. (ⅰ) $0 < a < 2$일 때 $\displaystyle \overline{{\mathrm{PR}}} + \overline{{\mathrm{QR}}} = \left( a ^{2} - 3 a + 3 \right) + \left( - 2 a ^{2} + 4 a \right) \leq 3$ 에서 $a \left( a - 1 \right) \geq 0$이므로 $a \leq 0$ 또는 $a \geq 1$ 그러므로 $1 \leq a < 2$ (ⅱ) $a > 2$일 때 $\displaystyle \overline{{\mathrm{PR}}} + \overline{{\mathrm{QR}}} = \left( a ^{2} - 3 a + 3 \right) + \left( 2 a ^{2} - 4 a \right) \leq 3$ 에서 $\displaystyle 3 a \left( a - \frac{7}{3} \right) \leq 0$이므로 $\displaystyle 0 \leq a \leq \frac{7}{3}$ 그러므로 $\displaystyle 2 < a \leq \frac{7}{3}$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $1 \leq a < 2$ 또는 $\displaystyle 2 < a \leq \frac{7}{3}$ 따라서 실수 $a$의 최댓값과 최솟값의 합은 $\displaystyle \frac{7}{3} + 1 = \frac{10}{3}$