이차함수 근 조건

$\alpha$, $\beta$는 두 함수 $y = f \left( x \right)$, $y = k - x$의 그래프의 교점의 $x$좌표이다. $\cdots$$\cdots$ ㉠ (가)에서 $f \left( \beta \right) + \beta = k$, $2 \beta = k$, $\displaystyle \beta = \frac{k}{2}$ $\beta$가 자연수이므로 $k$는 짝수이다. $\cdots$$\cdots$ ㉡ $\displaystyle f \left( \frac{k}{2} \right) = \frac{k}{2}$이고, (나)에서 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle f \left( x \right) \geq \frac{k}{2}$이므로 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{2} \left( x - \frac{k}{2} \right) ^{2} + \frac{k}{2}$이다. ㉠에 의하여 $\displaystyle 0 < \alpha < \beta \left( = \frac{k}{2} \right)$이므로 $\displaystyle \alpha = \frac{k}{2} - p \left( p \right.$는 자연수, $\displaystyle p < \frac{k}{2} )$라 하자. ㉠에 의하여 $\displaystyle f \left( \frac{k}{2} - p \right) = \frac{k}{2} + p$ $\displaystyle \frac{1}{2} \left\{ \left( \frac{k}{2} - p \right) - \frac{k}{2} \right\} ^{2} + \frac{k}{2} = \frac{k}{2} + p$, $p = 2$ 그러므로 $\displaystyle \alpha = \frac{k}{2} - 2$이다. $f \left( 0 \right) \leq \alpha + \beta + f \left( \alpha \right)$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{k ^{2}}{4} + \frac{k}{2} \leq \left( \frac{k}{2} - 2 \right) + \frac{k}{2} + \left( \frac{k}{2} + 2 \right)$ $0 \leq k \leq 8$이고, ㉡에 의하여 $k = 2$, $4$, $6$, $8$이다. $k = 2$일 때, $\alpha = - 1$이므로 $\alpha$는 자연수가 아니다. $k = 4$일 때, $\alpha = 0$이므로 $\alpha$는 자연수가 아니다. $k = 6$일 때, $\alpha = 1$, $\beta = 3$ $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{2} \left( x - 3 \right) ^{2} + 3$이므로 $\displaystyle f \left( 6 \right) = \frac{15}{2}$ $k = 8$일 때, $\alpha = 2$, $\beta = 4$ $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{2} \left( x - 4 \right) ^{2} + 4$이므로 $f \left( 6 \right) = 6$ 따라서 모든 $f \left( 6 \right)$의 값의 곱은 $\displaystyle \frac{15}{2} \times 6 = 45$