이차함수 값과 근 조건

$x$에 대한 이차방정식 $\left\{ x - f \left( k \right) \right\} \left\{ x - g \left( k \right) \right\} = 0$이 서로 다른 두 실근 $\mathrm{0}$, $\mathrm{4}$를 갖기 위해서는 실수 $k$에 대하여 $\displaystyle {\begin{cases} f \left( k \right) = 0 \\ g \left( k \right) = 4 \end{cases}}$ 또는 $\displaystyle {\begin{cases} f \left( k \right) = 4 \\ g \left( k \right) = 0 \end{cases}}$이다. 조건을 만족시키는 모든 실수 $k$의 개수가 $\mathrm{3}$이므로 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프가 두 직선 $y = 0$, $y = 4$와 만나는 서로 다른 점의 개수는 $\mathrm{3}$ 또는 $\mathrm{4}$이다. (ⅰ) 만나는 점의 개수가 $\mathrm{3}$인 경우 만나는 점의 $x$좌표를 작은 수부터 크기 순서대로 $k _{1}$, $k _{2}$, $k _{3}$이라 하자. $g \left( k _{1} \right) = 4$, $g \left( k _{2} \right) = 0$, $g \left( k _{3} \right) = 4$이고 조건을 만족시키는 모든 실수 $k$의 개수가 $\mathrm{3}$이므로 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 세 점 $\left( k _{1} , 0 \right)$, $\left( k _{2} , 4 \right)$, $\left( k _{3} , 0 \right)$을 모두 지나야 한다.

$f \left( 2 \right) = 4$이므로 $k _{2} = 2$이고 함수 $y = g ( x )$의 그래프가 점 $\left( 2 , 0 \right)$에서 직선 $y = 0$에 접하므로 $g \left( x \right) = \left( x - 2 \right) ^{2}$ 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프가 두 점 $\left( k _{1} , 4 \right)$, $\left( k _{3} , 4 \right)$를 지나므로 $\left( x - 2 \right) ^{2} = 4$에서 $x = 0$ 또는 $x = 4$ $k _{1} = 0$, $k _{3} = 4$ 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 점 $\left( 2 , 4 \right)$에서 직선 $y = 4$에 접하므로 $f \left( x \right) = a \left( x - 2 \right) ^{2} + 4 \left( a < 0 \right)$이고 두 점 $\left( 0 , 0 \right)$, $\left( 4 , 0 \right)$을 지나므로 $f \left( 0 \right) = f \left( 4 \right) = 4 a + 4 = 0$, $a = - 1$ $f \left( x \right) = - \left( x - 2 \right) ^{2} + 4$ (ⅱ) 만나는 점의 개수가 $\mathrm{4}$인 경우

만나는 점의 $x$좌표를 작은 수부터 크기 순서대로 $k _{1}$, $k _{2}$, $k _{3}$, $k _{4}$라 하자. $g \left( k _{1} \right) = 4$, $g \left( k _{2} \right) = 0$, $g \left( k _{3} \right) = 0$, $g \left( k _{4} \right) = 4$이고 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프의 꼭짓점의 $x$좌표를 $\alpha$라 하면 $\displaystyle \frac{k _{1} + k _{4}}{2} = \frac{k _{2} + k _{3}}{2} = \alpha$ $\cdots \cdots$ ㉠ $k _{1} < k _{2} < \alpha < k _{3} < k _{4}$ 조건을 만족시키는 모든 실수 $k$의 개수가 $\mathrm{3}$이므로 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 네 점 $\left( k _{1} , 0 \right)$, $\left( k _{2} , 4 \right)$, $\left( k _{3} , 4 \right)$, $\left( k _{4} , 0 \right)$ 중 세 점만을 지나야 한다. (ㄱ) 두 점 $\left( k _{1} , 0 \right)$, $\left( k _{4} , 0 \right)$을 지나는 경우 ㉠에 의하여 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 꼭짓점의 $x$좌표는 $\alpha$이고 이차함수의 그래프의 성질에 의하여 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 두 점 $\left( k _{2} , 4 \right)$, $\left( k _{3} , 4 \right)$ 중 한 점만을 지날 수 없으므로 모든 실수 $k$의 값이 $k _{1}$, $k _{2}$, $k _{3}$, $k _{4}$로 $\mathrm{4}$개가 되어 조건을 만족시키지 않는다. (ㄴ) 두 점 $\left( k _{2} , 4 \right)$, $\left( k _{3} , 4 \right)$를 지나는 경우 ㉠에 의하여 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 꼭짓점의 $x$좌표는 $\alpha$이고 이차함수의 그래프의 성질에 의하여 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 두 점 $\left( k _{1} , 0 \right)$, $\left( k _{4} , 0 \right)$ 중 한 점만을 지날 수 없으므로 모든 실수 $k$의 값이 $k _{1}$, $k _{2}$, $k _{3}$, $k _{4}$로 $\mathrm{4}$개가 되어 조건을 만족시키지 않는다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $g \left( x \right) = \left( x - 2 \right) ^{2}$, $f \left( x \right) = - \left( x - 2 \right) ^{2} + 4$ 따라서 $g \left( 8 \right) - f \left( 8 \right) = 36 - \left( - 32 \right) = 68$