이차함수 최대 최소 보기

[출제의도] 이차함수의 그래프를 이용하여 추론하기 조건 (가), (나)에 의하여 함수 $f \left( x \right) = ax \left( x + 4 \right)$ ($a < 0$)이고 함수 $f \left( x \right)$의 그래프는 다음과 같다.

$f \left( - 1 \right)$ $f \left( 1 \right)$ $x = \mathit{-} 2$ $y = f \left( x \right)$

ㄱ. 함수 $f \left( x \right)$의 대칭축이 $x = \mathit{-} 2$이므로 $f \left( 0 \right) = 0$ (참) ㄴ. 위 그림과 같이 $- 1 \leq x \leq 1$에서 함수 $f \left( x \right)$의 최솟값은 $f \left( 1 \right)$이다. (참) ㄷ. 함수 $f \left( x \right)$에서 (ⅰ) $p = \mathit{-} 3$일 때

$f \left( p \right)$ $y = f \left( x \right)$ $x = \mathit{-} 2$

$f \left( p \right) = f \left( p + 2 \right)$이므로 $g \left( p \right) = f \left( p \right)$ (ⅱ) $p < - 3$일 때

$f \left( p \right)$ $f \left( p + 2 \right)$ $y = f \left( x \right)$ $x = \mathit{-} 2$

$f \left( p \right) < f \left( p + 2 \right)$이므로 $g \left( p \right) = f \left( p \right)$ (ⅲ) $p > - 3$일 때

$f \left( p + 2 \right)$ $f \left( p \right)$ $y = f \left( x \right)$ $x = \mathit{-} 2$

$f \left( p \right) > f \left( p + 2 \right)$이므로 $g \left( p \right) = f \left( p + 2 \right)$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 함수 $g \left( p \right)$는 다음과 같다. $\displaystyle g \left( p \right) = {\begin{cases} f \left( p \right) _{{} _{}} & \left( p \leq - 3 \right) _{{} _{}} \\ f \left( p + 2 \right) ^{{} ^{}} & \left( p > - 3 \right) ^{{} ^{}} \end{cases}}$ $p \leq - 3$인 모든 $p$에 대하여 $g \left( p \right) \leq f \left( - 3 \right)$이고 $p > - 3$인 모든 $p$에 대하여 $g \left( p \right) < f \left( - 3 \right)$이므로 $g \left( p \right)$의 최댓값은 $f \left( - 3 \right)$이다. $f \left( - 3 \right) = 1$에서 $\displaystyle a = \mathit{-} \frac{1}{3}$이므로 $\displaystyle f \left( - 2 \right) = \mathit{-} \frac{1}{3} \times \left( - 2 \right) \times \left( - 2 + 4 \right) = \frac{4}{3}$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ