미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

이차함수 부정적분 감소

문제

모든 실수 xx에 대하여 이차함수 y=f(x)y = f ( x )가 다음 조건을 만족한다.

(가) f(0)=−2f ( 0 ) = - 2 (나) f(−x)=f(x)f ( - x ) = f ( x ) (다) f(f′(x))=f′(f(x))f ( f' ( x ) ) = f' ( f ( x ) )

함수 F(x)=∫f(x)dx\displaystyle F ( x ) = \int _{} ^{} {f ( x ) dx}가 감소하는 구간의 길이는? [3점] ①44②55③66④77⑤88

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①

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해설

조건 (나)에 의하여 f(x)=ax2+bf ( x ) = a x ^{2} + b라 하면 f(0)=−2f ( 0 ) = - 2이므로 b=−2b = - 2 f(x)=ax2−2f ( x ) = ax ^{2} - 2 , f′(x)=2axf' ( x ) = 2 ax f(f′(x))=f′(f(x))f ( f' ( x ) ) = f' ( f ( x ) )이므로 a=12\displaystyle a = \frac{1}{2}이다. 따라서 f(x)=12x2−2\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{2} x ^{2} - 2이다. F(x)F ( x )가 감소하는 구간은 부등식 F′(x)<0F' ( x ) < 0 즉, f(x)<0f ( x ) < 0을 만족하는 구간이므로 12x2−2<0\displaystyle \frac{1}{2} x ^{2} - 2 < 0, −2<x<2- 2 < x < 2 ∴\therefore감소하는 구간의 길이는 44

태그

#이차함수#부정적분#증가와 감소

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