이차함수 부등식 조건

[출제의도] 이차부등식과 이차함수의 성질을 이용하여 최댓값과 최솟값의 차를 구한다. 조건 (가)에서 $\displaystyle \frac{1 - x}{4} = t$라 하면 $x = 1 - 4 t$이고, 부등식 $\displaystyle f \left( \frac{1 - x}{4} \right) \leq 0$의 해가 $- 7 \leq x \leq 9$이므로 $- 7 \leq 1 - 4 t \leq 9$, $- 2 \leq t \leq 2$ 따라서 $f ( t ) = k ( t - 2 ) ( t + 2 )$($k > 0$)에서 $f ( x ) = k ( x - 2 ) ( x + 2 ) = k ( x ^{2} - 4 )$ …… ㉠ 라 할 수 있다. 조건 (나)에서 부등식 $\displaystyle f ( x ) \geq 2 x - \frac{13}{3}$ 이 항상 성립하므로 이차부등식 $\displaystyle kx ^{2} - 2 x - 4 k + \frac{13}{3} \geq 0$ 의 해는 모든 실수이다. 따라서 방정식 $\displaystyle kx ^{2} - 2 x - 4 k + \frac{13}{3} = 0$ 의 판별식을 $D$라 놓으면 $\displaystyle \frac{D}{4}$$\displaystyle = 1 - k \left( - 4 k + \frac{13}{3} \right)$$\displaystyle = 4 k ^{2} - \frac{13}{3} k + 1 \leq 0$ $12 k ^{2} - 13 k + 3 \leq 0$ $( 4 k - 3 ) ( 3 k - 1 ) \leq 0$ $\displaystyle \frac{1}{3} \leq k \leq \frac{3}{4}$ ㉠에서 $f ( 3 ) = 5 k$이므로 $\displaystyle \frac{5}{3} \leq f ( 3 ) \leq \frac{15}{4}$ 따라서 $\displaystyle M = \frac{15}{4}$, $\displaystyle m = \frac{5}{3}$에서 $\displaystyle M - m = \frac{15}{4} - \frac{5}{3} = \frac{25}{12}$ [다른 풀이] $0$이 아닌 실수 $k$와 두 상수 $a$, $b$에 대하여 $f ( x ) = k ( x - a ) ( x - b )$라 하자. 조건 (가)에서 $\displaystyle f \left( \frac{1 - x}{4} \right) \leq 0$ $\displaystyle k \left( \frac{1 - x}{4} - a \right) \left( \frac{1 - x}{4} - b \right) \leq 0$ $\displaystyle k \left( \frac{1 - 4 a - x}{4} \right) \left( \frac{1 - 4 b - x}{4} \right) \leq 0$ 부등식 $k ( x + 4 a - 1 ) ( x + 4 b - 1 ) \leq 0$의 해가 $- 7 \leq x \leq 9$이므로 $k > 0$ $- 4 a + 1 = \mathit{-} 7$, $- 4 b + 1 = 9$라 하면 $a = 2$, $b = \mathit{-} 2$ 따라서 $f ( x ) = k ( x - 2 ) ( x + 2 )$$= k ( x ^{2} - 4 )$ …… ㉠ 조건 (나)에서 부등식 $\displaystyle f ( x ) \geq 2 x - \frac{13}{3}$ 이 항상 성립하므로 이차부등식 $\displaystyle kx ^{2} - 2 x - 4 k + \frac{13}{3} \geq 0$ 의 해는 모든 실수이다. 따라서 방정식 $\displaystyle kx ^{2} - 2 x - 4 k + \frac{13}{3} = 0$ 의 판별식을 $D$라 놓으면 $\displaystyle \frac{D}{4} = 1 - k \left( - 4 k + \frac{13}{3} \right)$$\displaystyle = 4 k ^{2} - \frac{13}{3} k + 1 \leq 0$ $12 k ^{2} - 13 k + 3 \leq 0$, $( 4 k - 3 ) ( 3 k - 1 ) \leq 0$ $\displaystyle \frac{1}{3} \leq k \leq \frac{3}{4}$ ㉠에서 $f ( 3 ) = 5 k$이므로 $\displaystyle \frac{5}{3} \leq f ( 3 ) \leq \frac{15}{4}$ 따라서 $\displaystyle M = \frac{15}{4}$, $\displaystyle m = \frac{5}{3}$에서 $\displaystyle M - m = \frac{15}{4} - \frac{5}{3} = \frac{25}{12}$