이차다항식의 합 나머지

[출제의도] 나머지정리를 이용하여 이차다항식 추론하기 ⅰ) $P ( 1 ) = 0 , P ( 2 ) = 0$ 인 경우 $P ( x )$는 이차다항식이므로 조건 (나)에 의해 $P ( 0 ) = 3$, $P ( 3 ) = 3$ 이다. 따라서 $\displaystyle P ( x ) = \frac{3}{2} ( x - 1 ) ( x - 2 )$ 이다. ⅱ) $P ( 1 ) = 0 , P ( 2 ) \ne 0$ 인 경우 $P ( x )$는 이차다항식이므로 조건 (나)에 의해 아래와 같이 세 가지 경우만 생각하면 된다. ① $P ( 0 ) = 0$, $P ( 3 ) = 3$일 때, $P ( 1 ) = 0 , P ( 0 ) = 0 , P ( 3 ) = 3$ 이다. 따라서 $\displaystyle P ( x ) = \frac{1}{2} x ( x - 1 )$ 이다. ② $P ( 0 ) = 3$, $P ( 3 ) = 0$일 때, $P ( 1 ) = 0 , P ( 0 ) = 3 , P ( 3 ) = 0$ 이다. 따라서 $P ( x ) = ( x - 1 ) ( x - 3 )$ 이다. ③ $P ( 0 ) = 3$, $P ( 3 ) = 3$일 때, $P ( 1 ) = 0 , P ( 0 ) = 3 , P ( 3 ) = 3$ 이다. 따라서 $\displaystyle P ( x ) = \frac{3}{2} ( x - 1 ) ( x - 2 )$ 이다. 그런데 $P ( 2 ) = 0$이므로 모순이다. ⅲ) $P ( 1 ) \ne 0 , P ( 2 ) = 0$인 경우 $P ( x )$는 이차다항식이므로 조건 (나)에 의해 아래와 같이 세 가지 경우만 생각하면 된다. ① $P ( 0 ) = 0$, $P ( 3 ) = 3$일 때, $P ( 2 ) = 0 , P ( 0 ) = 0 , P ( 3 ) = 3$ 이다. 따라서 $P ( x ) = x ( x - 2 )$ 이다. ② $P ( 0 ) = 3$, $P ( 3 ) = 0$일 때, $P ( 2 ) = 0 , P ( 0 ) = 3 , P ( 3 ) = 0$ 이다. 따라서 $\displaystyle P ( x ) = \frac{1}{2} ( x - 2 ) ( x - 3 )$ 이다. ③ $P ( 0 ) = 3$, $P ( 3 ) = 3$일 때, $P ( 2 ) = 0 , P ( 0 ) = 3 , P ( 3 ) = 3$ 이다. 따라서 $\displaystyle P ( x ) = \frac{3}{2} ( x - 1 ) ( x - 2 )$ 이다. 그런데 $P ( 1 ) = 0$이므로 모순이다. 그러므로 ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의해 $Q ( x ) =$$\displaystyle \frac{3}{2} ( x - 1 ) ( x - 2 )$$\displaystyle + \frac{1}{2} x ( x - 1 )$$+ ( x - 1 ) ( x - 3 )$ $+ x ( x - 2 )$$\displaystyle + \frac{1}{2} ( x - 2 ) ( x - 3 )$ 이다. 따라서 $Q ( x )$를 $x - 4$로 나눈 나머지는 $Q ( 4 ) = 27$이다.