이차부등식 조건 격자점

[출제의도] 집합에 제시된 조건을 이해하고 연립이차부등식을 해결한다. 집합 $A$에서 어떤 실수 $x$에 대하여 $x ^{2} + 2 bx - a ^{2} + 6 b \leq 0$ 이려면 부등식 $x ^{2} + 2 bx - a ^{2} + 6 b \leq 0$ 의 해가 존재해야 한다. 따라서 이차방정식 $x ^{2} + 2 bx - a ^{2} + 6 b = 0$ 의 판별식을 $D _{1}$이라 하면 $\displaystyle \frac{D _{1}}{4} = b ^{2} - ( - a ^{2} + 6 b ) \geq 0$ $a ^{2} + ( b - 3 ) ^{2} \geq 9$ …… ㉠ 부등식 ㉠의 영역을 좌표평면에 나타내면 그림의 색칠된 부분(경계선 포함)과 같다.

집합 $B$에서 모든 실수 $x$에 대하여 $x ^{2} + 2 ax - b ^{2} + 6 a > 0$ 이려면 부등식 $x ^{2} + 2 ax - b ^{2} + 6 a > 0$의 해가 모든 실수이어야 한다. 따라서 이차방정식 $x ^{2} + 2 ax - b ^{2} + 6 a = 0$의 판별식을 $D _{2}$라 하면 $\displaystyle \frac{D _{2}}{4} = a ^{2} - ( - b ^{2} + 6 a ) < 0$ $( a - 3 ) ^{2} + b ^{2} < 9$ …… ㉡ 부등식 ㉡의 영역을 좌표평면에 나타내면 그림의 색칠된 부분(경계선 제외)과 같다.

집합 $A \cap B$의 원소는 좌표평면에서 연립부등식 $\displaystyle {\begin{cases} x ^{2} + \left( y - 3 \right) ^{2} \geq 9 _{} \\ \left( x - 3 \right) ^{2} + y ^{2} < 9 ^{{} ^{}} \end{cases}}$ 가 나타내는 영역에 포함되는 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점과 같다.

위의 그림에서 $x$좌표가 $1$인 점의 개수가 $3$, $x$좌표가 $2$인 점의 개수가 $3$, $x$좌표가 $3$인 점의 개수가 $5$, $x$좌표가 $4$인 점의 개수가 $5$, $x$좌표가 $5$인 점의 개수가 $5$ 이므로 집합 $A \cap B$의 원소의 개수는 $3 + 3 + 5 + 5 + 5 = 21$