이차방정식 실근 개수 함수

$f \left( x \right) = \left( x - 1 \right) \left( x - 5 \right)$이므로 $f \left( x \right) f \left( x - k \right) = \left( x - 1 \right) \left( x - 5 \right) \left( x - 1 - k \right) \left( x - 5 - k \right)$ 에서 방정식 $f \left( x \right) f \left( x - k \right) = 0$의 실근은 $1$, $5$, $1 + k$, $5 + k$이다. $1 \neq 5$이고, $k + 1 \neq k + 5$이므로 $g \left( t \right)$의 값은 $2$ 이상 $4$ 이하의 자연수이다. (ⅰ) $g \left( t \right) = 2$인 경우 $1 < 5$, $k + 1 < k + 5$이므로 $1 = k + 1$이고 $5 = k + 5$이어야 한다. 그러므로 $k = 0$ (ⅱ) $g \left( t \right) = 3$인 경우 $1 < 5$, $k + 1 < k + 5$이므로 $5 = k + 1$ 또는 $1 = k + 5$이어야 한다. 그러므로 $k = 4$ 또는 $k = - 4$ (ⅲ) $g \left( t \right) = 4$인 경우 $1 \neq k + 1$, $1 \neq k + 5$, $5 \neq k + 1$, $5 \neq k + 5$이어야 하므로 $k \neq 0$, $k \neq - 4$, $k \neq 4$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 $g \left( k \right)$는 $\displaystyle g \left( k \right) = \begin{cases} 2 & & \left( k = 0 \right) \\ 3 & & \left( k = - 4 \text{또는} k = 4 \right) \\ 4 & & \left( k \neq - 4 , k \neq 0 , k \neq 4 \text{인} \text{모든} \text{실수} \right) \end{cases}$ $g \left( k - 7 \right) + g \left( k + 1 \right) = 6$을 만족시키기 위해서는 $g \left( k - 7 \right) = 2$, $g \left( k + 1 \right) = 4$ 또는 $g \left( k - 7 \right) = 3$, $g \left( k + 1 \right) = 3$ 또는 $g \left( k - 7 \right) = 4$, $g \left( k + 1 \right) = 2$ 이어야 한다. $g \left( k - 7 \right) = 2$에서 $k = 7$이고 이때 $g \left( 0 \right) + g \left( 8 \right) = 6$ $k - 7 < k + 1$이고 $g \left( k - 7 \right) = g \left( k + 1 \right) = 3$에서 $k - 7 = - 4$ $k = 3$이고 이때 $g \left( - 4 \right) + g \left( 4 \right) = 3 + 3 = 6$ $g \left( k + 1 \right) = 2$에서 $k = - 1$이고 이때 $g \left( - 8 \right) + g \left( 0 \right) = 6$ 따라서 $g \left( k - 7 \right) + g \left( k + 1 \right) = 6$이 되도록 하는 모든 실수 $k$의 값은 $7$, $3$, $- 1$이고, 그 합은 $9$