이차방정식 점화식으로 정의된 수열의 합

$\displaystyle \frac{1}{2} \left( a _{n} - \frac{2}{a _{n}} \right) = \sqrt{n - 1} \left( n \geq 1 \right)$에서 $a _{n} < 0$, $\displaystyle a _{n} > \frac{2}{a _{n}}$이고 주어진 등식을 정리하면 $\displaystyle a _{n} \mathit{^{2}} - 2 \sqrt{n - 1} a _{n} - 2 = 0$ 근의 공식에 의하여 $\displaystyle a _{n} = \sqrt{n - 1} \pm \sqrt{\left( \sqrt{n - 1} \right) ^{2} + 2}$에서 $\displaystyle a _{n} = \sqrt{n - 1} - \sqrt{n + 1}$ ($\because$ $a _{n} < 0$) $\therefore$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{99} a _{n}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{99} \left( \sqrt{n - 1} - \sqrt{n + 1} \right)$ $\displaystyle = \left( \sqrt{0} - \sqrt{2} \right) + \left( \sqrt{1} - \sqrt{3} \right) + \left( \sqrt{2} - \sqrt{4} \right) +$ $\displaystyle \cdots + \left( \sqrt{97} - \sqrt{99} \right) + \left( \sqrt{98} - \sqrt{100} \right)$ $\displaystyle = 1 - 3 \sqrt{11} - 10$ $\displaystyle = - 9 - 3 \sqrt{11}$