이차방정식 근의 수열

조건 (가)에 의해 실수 $a _{k}$ ($k$는 자연수)는 $x$에 대한 방정식 $x ^{2} + 3 x + \left( 8 - k \right) \left( k - 5 \right) = 0$의 근이므로 $\left( a _{k} + 8 - k \right) \left( a _{k} + k - 5 \right) = 0$ $a _{k} = k - 8$ 또는 $a _{k} = 5 - k$ 조건 (나)에서 $a _{n} \times a _{n + 1} \leq 0$을 만족시키는 $\mathrm{10}$ 이하의 두 자연수 $n$을 각각 $p$, $q \left( p < q \right)$라 하자. $a _{6} = - 2$ 또는 $a _{6} = - 1$, $a _{7} = - 1$ 또는 $a _{7} = - 2$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 6} ^{7} a _{n}$의 값이 최대가 되는 것은 $a _{6} = a _{7} = - 1$일 때이고 $\displaystyle \sum\limits _{n = 6} ^{7} a _{n} = - 2$ $a _{5} = - 3$ 또는 $a _{5} = 0$, $a _{8} = 0$ 또는 $a _{8} = - 3$이므로 $a _{5}$, $a _{8}$의 값에 따라 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} a _{n}$의 최댓값은 다음과 같다. (ⅰ) $a _{5} = a _{8} = 0$이면 $a _{4} a _{5} = a _{5} a _{6} = a _{7} a _{8} = a _{8} a _{9} = 0$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) $a _{5} = 0$, $a _{8} = - 3$인 경우 $a _{4} a _{5} = a _{5} a _{6} = 0$이므로 $p = 4$, $q = 5$ $6 \leq n \leq 10$에서 $a _{n}$의 부호는 모두 동일하고 $a _{8} = - 3 < 0$이므로 $a _{9} = - 4$, $a _{10} = - 5$ $1 \leq n \leq 4$에서 $a _{n}$의 부호는 모두 동일하고 $a _{1} = 4$ 또는 $a _{1} = - 7$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} a _{n}$의 값이 최대가 되는 것은 $a _{1} = 4$, $a _{2} = 3$, $a _{3} = 2$, $a _{4} = 1$일 때이다. $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} a _{n}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{4} a _{n} + a _{5} + \sum\limits _{n = 6} ^{7} a _{n} + a _{8} + \sum\limits _{n = 9} ^{10} a _{n}$ $= 10 + 0 + \left( - 2 \right) + \left( - 3 \right) + \left( - 9 \right) = - 4$ (ⅲ) $a _{5} = - 3$, $a _{8} = 0$인 경우 $a _{7} a _{8} = a _{8} a _{9} = 0$이므로 $p = 7$, $q = 8$ $1 \leq n \leq 5$에서 $a _{n}$의 부호는 모두 동일하고 $a _{5} = - 3 < 0$이므로 $a _{1} = - 7$, $a _{2} = - 6$, $a _{3} = - 5$, $a _{4} = - 4$ $9 \leq n \leq 10$에서 $a _{n}$의 부호는 모두 동일하고 $a _{9} = 1$ 또는 $a _{9} = - 4$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} a _{n}$의 값이 최대가 되는 것은 $a _{9} = 1$, $a _{10} = 2$일 때이다. $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} a _{n}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{4} a _{n} + a _{5} + \sum\limits _{n = 6} ^{7} a _{n} + a _{8} + \sum\limits _{n = 9} ^{10} a _{n}$ $= \left( - 22 \right) + \left( - 3 \right) + \left( - 2 \right) + 0 + 3 = - 24$ (ⅳ) $a _{5} = - 3$, $a _{8} = - 3$인 경우 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} a _{n}$의 값이 최대가 되는 경우는 $1 \leq n \leq 4$에서 $a _{n} > 0$이고 $9 \leq n \leq 10$에서 $a _{n} > 0$일 때이다. 이때 $a _{4} a _{5} < 0$, $a _{8} a _{9} < 0$이므로 $p = 4$, $q = 8$ $a _{1} = 4$, $a _{2} = 3$, $a _{3} = 2$, $a _{4} = 1$, $a _{9} = 1$, $a _{10} = 2$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} a _{n}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{4} a _{n} + a _{5} + \sum\limits _{n = 6} ^{7} a _{n} + a _{8} + \sum\limits _{n = 9} ^{10} a _{n}$ $= 10 + \left( - 3 \right) + \left( - 2 \right) + \left( - 3 \right) + 3 = 5$ (ⅰ)$\sim$(ⅳ)에 의해 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} a _{n}$의 최댓값은 $\mathrm{5}$ [참고] $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} a _{n}$의 값이 최대가 되도록 하는 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항부터 제$\mathrm{10}$항까지는 다음과 같다.

$\left\{ a _{n} \right\} : 4$, $3$, $2$, $1$, $- 3$, $- 1$, $- 1$, $- 3$, $1$, $2$, $\cdots$