이차방정식 근의 거듭제곱의 합

$\alpha$가 방정식의 근이므로 $\alpha ^{2} = \alpha + 1$ $\alpha ^{3} = \alpha ^{2} + \alpha = 2 \alpha + 1$ $\alpha ^{4} = 2 \alpha ^{2} + \alpha$$= 3 \alpha + 2$ $\alpha ^{5} = 3 \alpha ^{2} + 2 \alpha = 5 \alpha + 3$ $\alpha ^{6} = 5 \alpha ^{2} + 3 \alpha = 8 \alpha + 5$ ⋮ ∴ $\alpha ^{11} = \alpha ^{5} \cdot \alpha ^{6} = 40 \alpha ^{2} + 49 \alpha + 15 = 89 \alpha + 55$ 마찬가지 방법으로 $\beta ^{11} = 89 \alpha + 55$ 근과 계수와의 관계에서 $\alpha + \beta = 1$이므로 $\alpha ^{11} + \beta ^{11}$$= 89 ( \alpha + \beta ) + 110$$= 199$ [다른 풀이] 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의하여 $\alpha + \beta = 1$, $\alpha \beta = - 1$ $a _{n} = \alpha ^{n} + \beta ^{n}$이라 하면 $a _{n+2}$$= ( \alpha + \beta ) ( \alpha ^{n+1} + \beta ^{n+1} ) - \alpha \beta ( \alpha ^{n} + \beta ^{n} )$$= a _{n+1} + a _{n}$ 이 성립한다. $a _{1} = \alpha + \beta = 1$, $a _{2} = ( \alpha + \beta ) ^{2} - 2 \alpha = 3$이므로 $a _{3} = 1 + 3 = 4$ $a _{4} = 3 + 4 = 7$ $a _{5} = 4 + 7 = 11$ $a _{6} = 7 + 11 = 18$ $a _{7} = 11 + 18 = 29$ $a _{8} = 18 + 29 = 47$ $a _{9} = 29 + 47 = 76$ $a _{10} = 47 + 76 = 123$ $a _{11} = 76 + 123 = 199$ ⋯ ∴ $\alpha ^{11} + \beta ^{11} = 199$