현의 길이로 중심을 정하고 넓이 최대

$x ^{2} + y ^{2} - 4 x - 2 ay + a ^{2} - 21 = 0$ 을 변형하면 $\left( x - 2 \right) ^{2} + \left( y - a \right) ^{2} = 4 + a ^{2} - a ^{2} + 21 = 25$ 이므로 원 $C$ 는 중심이 $\mathrm{C} ( 2 , a )$ 이고 반지름의 길이가 $5$ 인 원이다. 중심 $\mathrm{C}$ 에서 $x$ 축까지의 거리가 $a$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \mathit{8}$ 이므로 $\displaystyle \sqrt{25 - a ^{2}} = 4$ $a ^{2} = 9$ 에서 $a > 0$ 이므로 $a = 3$ 점 $\mathrm{P}$ 에서 직선 $\mathrm{AB}$ 까지의 거리는 점 $\mathrm{P}$ 가 원 $C$ 위에서 $x$ 축으로부터 가장 멀 때 최대이고, 그 값은 $a + 5 = 3 + 5 = 8$ 따라서 삼각형 $\mathrm{PAB}$ 의 넓이의 최댓값은 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 8 \times 8 = 32$