공통수학1다항식의 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

환의 넓이 빈칸

문제

조선시대 산학서에서 중심이 같은 서로 다른 두 원으로 둘러싸인 도형을 환(環)이라 불렀다.

환(環)

다음은 실경과 정주라는 것을 이용하여 환의 넓이를 구하는 과정이다.

그림에서 두 원 C1,C2C _{1} , C _{2}는 모두 중심이 O\mathrm{O}인 원이다. 두 원 C1,C2C _{1} , C _{2}의 반지름의 길이를 각각 r1,r2r _{1} , r _{2}(r1>r2)( r _{1} > r _{2} )라 하고, 원의 중심 O\mathrm{O}와 원 C1C _{1} 위의 점 P\mathrm{P}를 연결한 선분이 원 C2C _{2}와 만나는 점을 Q\mathrm{Q}라 하자. 선분 PQ\mathrm{P} Q의 중점을 R\mathrm{R}라 하고, 중심이 O\mathrm{O}이고 선분 OR\mathrm{O} R를 반지름으로 하는 원 DD를 그린다.

D\mathbf{D} C2\mathbf{C} _{2} C1\mathbf{C _{1}} Q\mathbf{\mathrm{Q}} O\mathbf{\mathrm{O}} R\mathbf{\mathrm{R}} P\mathbf{\mathrm{P}}

이때 선분 PQ\mathrm{P} Q의 길이를 실경, 원 DD의 둘레의 길이를 정주라 한다. 위에서 실경은 □(가)\square {( \text{가} )}, 정주는 2π×□(나)2 \pi \times \square {( \text{나} )}이므로 (실경)×\times(정주)=(□(가))×(2π×□(나))= ( \square {( \text{가} )} ) \times ( 2 \pi \times \square {( \text{나} )} ) =πr12−πr22= \pi r _{1} ^{2} - \pi r _{2} ^{2} =(= (환의 넓이)) 이다. 따라서 환의 넓이는 실경과 정주의 곱으로 구할 수 있다.

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식을 더하면 pr1+qr2p r _{1} + q r _{2}이다. 8(p2+q2)8 ( p ^{2} + q ^{2} )의 값은? (단, p,qp , q는 상수이다.) [3점] ①2020②2424③2828④3232⑤3636

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①

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해설

[출제의도] 원을 이용하여 넓이 문제 증명하기 두 원 C1,C2C _{1} , C _{2}의 반지름의 길이가 각각 r1r _{1}, r2r _{2}(r1>r2)( r _{1} > r _{2} )이므로 실경은 □r1−r2\square {r _{1} - r _{2}}, 정주는 2π×□(r2+r1−r22)\displaystyle 2 \pi \times \square {\left( r _{2} + \frac{r _{1} - r _{2}}{2} \right)} (실경)×\times(정주)=(□r1−r2)×(2π×□r1+r22)\displaystyle = ( \square {r _{1} - r _{2}} ) \times \left( 2 \pi \times \square {\frac{r _{1} + r _{2}}{2}} \right) =πr12−πr22= \pi r _{1} ^{2} - \pi r _{2} ^{2} ==(환의 넓이) (가), (나)에 알맞은 식을 더하면 32r1−12r2\displaystyle \frac{3}{2} r _{1} - \frac{1}{2} r _{2}이므로 8(p2+q2)=208 ( p ^{2} + q ^{2} ) = 20

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