공통수학1이차방정식AI기본 문제 (3점 중반)

황금비의 제곱과 역수의 제곱의 합

문제

황금비 $\displaystyle \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 는 이차방정식 $x ^{2} - x - 1 = 0$ 의 한 근이다. $\displaystyle \phi ^{2} + \frac{1}{\phi ^{2}}$ 의 값은? [3점] ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $\displaystyle \sqrt{5}$ ⑤ $\displaystyle 1 + \sqrt{5}$

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③

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해설

$\phi$ 는 $x ^{2} - x - 1 = 0$ 의 근이므로 $\phi ^{2} - \phi - 1 = 0$ $\phi \ne 0$ 이므로 양변을 $\phi$ 로 나누면 $\displaystyle \phi - 1 - \frac{1}{\phi} = 0$ , 즉 $\displaystyle \phi - \frac{1}{\phi} = 1$ 양변을 제곱하면 $\displaystyle \phi ^{2} - 2 + \frac{1}{\phi ^{2}} = 1$ 따라서 $\displaystyle \phi ^{2} + \frac{1}{\phi ^{2}} = 3$ 답 ③

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