대수삼각함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

호수 넓이

문제

원 모양의 호수의 넓이를 구하기 위해 호수의 가장자리의 세 지점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}, C\mathrm{C}에서 거리와 각을 측정한 결과가 다음과 같았다.

AB‾=80m\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 80 m AC‾=100m\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = 100 m ∠CAB=60∘\mathrm{\angle} CAB = 60 ^\circ 이때 이 호수의 넓이는? [4점] ①24002400πm2\pi \mathrm{m} ^{2}②25002500πm2\pi \mathrm{m} ^{2}③26002600πm2\pi \mathrm{m} ^{2}④27002700πm2\pi \mathrm{m} ^{2}⑤28002800πm2\pi \mathrm{m} ^{2}

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⑤

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해설

[출제의도] 사인법칙과 코사인법칙을 이용하여 실생활의 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. 코사인법칙에 의해 BC‾2=AB‾2+AC‾2−2AB‾AC‾cos⁡60∘\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} ^{2} = \overline{AB} ^{2} + \overline{AC} ^{2} - 2 \overline{AB} \overline{AC} \cos 60 ^\circ =802+1002−2⋅80⋅100⋅12\displaystyle = 80 ^{2} + 100 ^{2} - 2 \cdot 80 \cdot 100 \cdot \frac{1}{2} =8400= 8400 ∴BC‾=8400\displaystyle \therefore \mathrm{\overline{BC}} = \sqrt{8400} 호수의 반지름의 길이를 RR(m)라 하면, 사인법칙에서 BC‾sin⁡60∘=2R\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{BC}}}{\sin 60 ^\circ} = 2 R ∴R=84002⋅32=84003\displaystyle \therefore R = \frac{\sqrt{8400}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{8400}{3}}=2800\displaystyle = \sqrt{2800} 따라서 호수의 넓이는 πR2=2800π\pi R ^{2} = 2800 \pi(m2\mathrm{m} ^{2})

태그

#사인법칙#코사인법칙#실생활

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