홀짝 점화식을 거슬러 올라가는 수열

모든 항이 자연수인 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$에 대하여 조건 (가)에 의하여 다음이 성립한다. $a _{n}$$\displaystyle = {\begin{cases} 2 a _{n + 1} & & \left( a _{n + 1} \text{이} \text{홀수} \right) \\ 2 a _{n + 1} \text{또는} a _{n + 1} - 1 & & \left( a _{n + 1} \text{이} \text{짝수} \right) \end{cases}}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $a _{5} = 1$이므로 ㉠에 의하여 차례로 $a _{4}$, $a _{3}$, $a _{2}$, $a _{1}$을 구하면 다음과 같다. $a _{4} = 2$ $a _{3} = 1$ 또는 $a _{3} = 4$ (ⅰ) $a _{3} = 1$일 때 $a _{2} = 2$이므로 $a _{1} = 1$ 또는 $a _{1} = 4$ (ⅱ) $a _{3} = 4$일 때 $a _{2} = 3$ 또는 $a _{2} = 8$ $a _{2} = 3$이면 $a _{1} = 6$이고 $a _{2} = 8$이면 $a _{1} = 7$ 또는 $a _{1} = 16$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $a _{1}$의 값은 $1$, $4$, $6$, $7$, $16$이므로 모든 $a _{1}$의 값의 합은 $1 + 4 + 6 + 7 + 16 = 34$