홀짝 귀납 수열

$a _{n}$, $a _{n + 1}$이 모두 홀수라 가정하면 $a _{n + 2} = a _{n + 1} + a _{n}$에서 $a _{n + 2}$는 짝수이므로 연속하는 세 항 중 적어도 하나의 항은 짝수이다. $\cdots$$\cdots$(★) (ⅰ) $a _{4}$가 짝수인 경우 $\displaystyle a _{6} = 6 = \frac{1}{2} a _{4}$, $a _{4} = 12$ $a _{4}$가 짝수이므로 조건 (나)에 의하여 $a _{2}$, $a _{3}$, $a _{5}$는 홀수이다. $a _{2}$, $a _{3}$이 홀수이므로 (★)에 의하여 $a _{1}$은 짝수이다. $\displaystyle a _{3} = \frac{1}{2} a _{1}$ $\displaystyle a _{5} = a _{4} + a _{3} = 12 + \frac{1}{2} a _{1}$ $\displaystyle a _{4} = a _{3} + a _{2} = \frac{1}{2} a _{1} + a _{2} = 12$ $\displaystyle a _{2} = 12 - \frac{1}{2} a _{1}$ $a _{2}$가 홀수이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} a _{1}$은 $11$ 이하의 홀수이다.

주어진 조건을 만족시키는 모든 $a _{1}$의 값은 $2$, $6$, $10$, $14$, $18$, $22$이다. (ⅱ) $a _{4}$가 홀수인 경우 $a _{6} = 6 = a _{5} + a _{4}$에서 $a _{4}$, $a _{5}$가 홀수이므로 $\left( \star \right)$에 의하여 $a _{3}$은 짝수이다. $\displaystyle a _{5} = \frac{1}{2} a _{3}$에서 $\displaystyle a _{4} = 6 - \frac{1}{2} a _{3}$ $a _{3}$이 짝수이므로 조건 (나)에 의하여 $a _{2}$는 홀수이다. $a _{4} = a _{3} + a _{2}$에서 $\displaystyle 6 - \frac{1}{2} a _{3} = a _{3} + a _{2}$이므로 $\displaystyle a _{3} = 4 - \frac{2}{3} a _{2}$ $a _{3}$이 자연수이므로 $a _{2} = 3$, $a _{3} = 2$ $a _{1}$이 홀수이면 $a _{3} = a _{2} + a _{1}$ $2 = 3 + a _{1}$이므로 $a _{1}$은 자연수가 아니다. 그러므로 $a _{1}$은 짝수이고 $\displaystyle a _{3} = \frac{1}{2} a _{1}$, $a _{1} = 4$

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 $a _{1}$의 값의 합은 $\left( 2 + 6 + 10 + 14 + 18 + 22 \right) + 4 = 76$