대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

홀짝 부분합 등차수열

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 첫째항부터 제 nn항까지의 합을 SnS _{n}이라 하자. 수열 {S2n−1}\left\{ S _{2 n - 1} \right\}은 공차가 −3- 3인 등차수열이고, 수열 {S2n}\left\{ S _{2 n} \right\}은 공차가 22인 등차수열이다. a2=1a _{2} = 1일 때, a8a _{8}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

두 수열 {S2n−1}\left\{ S _{2n-1} \right\}과 {S2n}\left\{ S _{2n} \right\}은 각각 공차가 −3- 3과 22인 등차수열이므로 S2n−1=S1+(n−1)(−3)S _{2n-1} = S _{1} + ( n - 1 ) ( - 3 ) S2n=S2+(n−1)×2S _{2n} = S _{2} + ( n - 1 ) \times 2 그런데, S1=a1S _{1} = a _{1}이고 S2=a1+a2=a1+1S _{2} = a _{1} + a _{2} = a _{1} + 1이므로 S2n−1=a1−3n+3S _{2n-1} = a _{1} - 3 n + 3 S2n=(a1+1)+2n−2=a1+2n−1S _{2n} = ( a _{1} + 1 ) + 2 n - 2 = a _{1} + 2 n - 1 따라서, 구하는 a8a _{8}의 값은 a8=S8−S7a _{8} = S _{8} - S _{7}=(a1+2⋅4−1)−(a1−3⋅4+3)= ( a _{1} + 2 \cdot 4 - 1 ) - ( a _{1} - 3 \cdot 4 + 3 )=a1+7−a1+9= a _{1} + 7 - a _{1} + 9=16= 16

태그

#수열의 합#등차수열

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